Являются ли слова "бабушка" и "бабочка" родственными?

П. Я. Черных. Историко-этимологический словарь современного русского языка

Бабочка - .В русском языке известно с начала 18 века.
"бабачка", "бабка летучая". Даль отмечает не только бабочка,
но стем же значением южн. "бабуля", костромское "бабУшка",
владимировск. "бабУр (к) а"; бабУлей, бабУшкой называют на юге и "бирюзовую стрекозу".
Обычно слово бабочка производят от бабка или прямо от баба.
Если бабочка происходит от баба, бабка, то, может быть,
нынешнее значение возникло в связи со значением "женщина, занимающаяся лечением, нашептыванием,
ворожбой", то есть что-то вроде колдуньи.
По Потебне, бабочка и подобные слова возникли в связи с представлением о мотыльке как "воплощении души предка";
сравни ярославское дУшичка - "мотылек", "бабочка".

Но, возможно, суеверие, предрассудки здесь ни при чём.
Не связано ли (как, по-видимому, казалось ещё Далю) ...не происходит ли оно от слова бава - "забава", "игрушка",
откуда бавочка. Ср. бавУшка, иногда произносимое бабУшка - "игрушка", "вещь для детской забавы". Также архангельское бабУшка - "детская игрушка", "безделица", "нестоящая вещь".
Со временем бавУшка стало смешиваться с производными от баба (бабушка, бабочка) и было вытеснено ими.
http://etymolog.ruslang.ru/chernykh.php?id=062&vol=1

Этимологический словарь Макса Фасмера

бабочка - уменьш. от бабка "бабушка". Это образование основано на представлении, что душа умершего продолжает жить в виде бабочки
http://etymolog.ruslang.ru/vasmer.php?id=100&vol=1

Этимологический словарь Крылова

БАБОЧКА
В основе этого существительного лежит слово баба, а уменьшительный суффикс изменил не только звучание слова, но и его значение. В старину некоторые животные и насекомые (включая и бабочек) считались колдунами или ведьмами. А слово баба к тому времени приобрело еще и значение – "ведьма", "колдунья". Так что, оказывается, нашим древним предкам это насекомое с красивыми крылышками представлялось маленькой колдуньей.
http://www.slovopedia.com/25/193/1648676.html

Если бабушка бабочки, то да. А если бабушка, бабочка--то нет!

прикинь, нет

у них общий корень баб

нет

нет, они однокоренные, но значения у них разные