Как правильно - В Быково (Быкове), Бутово (Бутове), Шереметьево (Шереметьеве), Домодедово (Домодедове) и т.д.?

Правильно в Быкове, в Домодедове и т. д. Это норма русского языка. Вот что по этому поводу пишет грамота. ру:

Топонимы славянского происхождения на -ов (о) , -ев (о) , -ин (о) , -ын (о) традиционно склоняются: в Останкине, в Переделкине, к Строгину, в Новокосине, из Люблина. Однако в последние десятилетия сложилась тенденция к употреблению несклоняемого варианта.

Изначально все подобные названия были склоняемыми (вспомним у Лермонтова: Недаром помнит вся Россия про день Бородина!) . Первоначально несклоняемые формы употреблялись лишь в речи географов и военных, потому что очень важно было давать названия в исходной форме, чтобы не было путаницы: Киров и Кирово, Пушкин и Пушкино и т. п. Но постепенно несклоняемые формы стали проникать в письменную речь. Так, в «Грамматике современного русского литературного языка» 1970 года было указано, что в современном русском литературном языке обнаруживают тенденцию пополнять группу слов нулевого склонения топонимы с финалями -ов (о) , -ёв (о) , -ев (о) , -ин (о) . Другими словами, несклоняемость тогда только начинала распространяться.

С тех пор прошло 30 лет – и несклоняемые варианты стали настолько широко распространенными, что изначально единственно правильный склоняемый вариант сегодня многими воспринимается как ошибочный! Если когда-то Анна Ахматова возмущалась, когда при ней говорили мы живем в Кратово вместо мы живем в Кратове, то в наши дни употребление в Кратове, в Строгине, в Люблине многими совершенно напрасно воспринимается как порча языка. Между тем такое произношение и написание соответствует строгой литературной норме. Однако постепенно стала нормативной и несклоняемость рассматриваемых названий.

Итак, в современном русском литературном языке действуют такие нормы. Если имеется родовое слово (город, район, село и т. п.) , то правильно не склонять: из района Люблино, в сторону района Строгино, в городе Иваново, из деревни Простоквашино, до края Косово. Если же родового слова нет, то возможны оба варианта, склоняемый (старый) и несклоняемый (новый) : в Люблине и в Люблино, в сторону Строгина и в сторону Строгино, в Иванове и в Иваново, из Простоквашина и из Простоквашино, до Косова и до Косово.

В Быкове или Шереметьеве, значит, в человеке с фамилией Быков или Шереметьев внутри кто-то завёлся.
Например, в Быкове зреет жизнь или в Шереметьеве завелись глисты.

первый вариант на О - правильный

Оне не склонеюцца...

Демодедов, Шереметьев, Быков.

В Быково, Бутово, Шереметьево, Домодедово.
И мало ли как говорят в СМИ, там давно уже не фильтруют...

В Шереметьево, Быково - абсолютно нормативный современный вариант. Но до ВОВ было правильно склонять. В войну приняли несклоняемые варианты, чтобы не было путаницы в сводках, радиограммах и телеграммах.