Что такое "по мне"? Обособлять, не обособлять? Если да, то почему? Если нет, то почему?

Gramota.ru по этому поводу не молчит. Есть здесь интереснейший Справочник по пунктуации.
Вот статья этого справочника, в которой есть ответ на Ваш вопрос:

ПО МНЕ, вводное выражение и член предложения

1. Вводное выражение. То же, что «по моему мнению, на мой взгляд, как я считаю» . Выделяется знаками препинания (запятыми) . Подробно о пунктуации при вводных словах см. в Приложении 2.

Мне ни к чему одические рати // И прелесть элегических затей. // По мне, в стихах все быть должно некстати, // Не так, как у людей. А. Ахматова, Мне ни к чему одические рати… На кролика похоже, а я кролика в рот не беру, по мне, что кошка, что кролик – один черт. Брезгую.. .А. и Б. Стругацкие, Улитка на склоне.

2. Член предложения. Не требует постановки знаков препинания.

В строй с июня, в бой с июля, // Снова Теркин на войне. // – Видно, бомба или пуля // Не нашлась еще по мне. А. Твардовский, Василий Теркин. По мне ползут с веригами калеки. Е. Евтушенко, Казанский университет.

@ В художественной литературе встречаются примеры необособления слов «по мне» в значении вводных: По мне жена как хочешь одевайся: хоть кутафьей, хоть болдыханом; только б не каждый месяц заказывала себе новые платья, а прежние бросала новешенькие. А. Пушкин, Арап Петра Великого. Выдумают, надо же!. .Мир круглый! По мне хоть квадратный, а умов не мути!. .А. и Б. Стругацкие, Трудно быть богом. По мне хоть всю жизнь живи, раз хороший человек. И. Ильф, Е. Петров, Двенадцать стульев.

А вот в Ваших предложениях это по мне, на мой взгляд, выполняет разные функции. В первом это вводное слово, поэтому я бы поставила запятую или даже тире: А по мне, так всё верно. А по мне – так всё верно. С возможностью постановки тире соглашается и gramota.ru.

Вопрос №260376

Здравствуйте, подскажите, правильно ли расставлены знаки препинания:

Скажи, кто ты? !
Говоришь, ты бог или нечто подобное?
А по мне – так обычный ребенок!
Прошу: примите мои извинения.

Спасибо.
ENSY

Ответ справочной службы русского языка

Знаки препинания расставлены верно.

Во втором предложении не по мне употреблено в значении «не для меня» , «не в моём вкусе» и, кстати, является сказуемым при подлежащем это. Так что никаких дополнительных знаков здесь не требуется: Не-а, это не по мне.. .

Ну а на вопрос о том, какая из дам права в споре, Вы уже сами ответили: они говорят о разных «по мне».

На мой непросвещённый взгляд, будет так:
"А по мне, так всё верно. "
"Нет, это не по мне".
В первом случае у нас вводная конструкция, являющаяся синонимом "по моему мнению", "на мой взгляд" и требующая обособления.
Во втором случае мы имеем предлог и местоимение, слившиеся в неразделимую предложную синтагму, выполняющую функцию обстоятельства и, соответственно, не требующую обособления.

Во первых строках своего ответа хочу внести небольшую, но существенную поправку. Спорщицы А и В не есть ягоды одного поля. А -- действительно госпожа А, а вот В -- не есть госпожа В, а товарищ В. ("Но ты же -- советский человек! " -- комиссар Воробьёв Мересьеву. )
Поэтому товарищу В легче было увидеть в вызвавшем спор контексте его чужеродность орфографическим и пунктуационным нормам русского языка, т. к. стиль контекста явно (как максимум) разговорный. А нормы орфографии и пунктуации распространяются только на книжные (= литературные, письменные) стили: художественный, научный, публицистический и официально-деловой.
Поэтому, прежде чем решать вопрос о правомерности постановки запятой в предложении разговорного стиля (т. е. вопрос о применении правила для письменной речи) , надо сначала преобразовать это предложение в предложение книжного стиля (в письменную речь) . Понятно, что в речи героев наших славных писателей-"деревенщиков" это не только неуместно, но и будет исторически недостоверно выглядеть. Следовательно, у них оставляем предложение, как есть, и больших требований к оформлению ими на письме этого предложения предъявлять не стОит.
А вот в своей речи всем не мешало бы и устно придерживаться норм русского языка. И если это удастся, то и в этом случае и проблем с запятыми не должно быть много, т. к. пунктограмм (правил постановки знаков препинания) в русском языке всего 10 (на 75 орфограмм -- правил на правописание слов) .

1. "По мне и так сойдёт". 2. "По мне, и так сойдёт".
Я -- за 1-ый варьянт: по Сеньке и шапка. А во 2-ом получается какая-то эклектика (смешение стилей) : когда кто-то малограмотный хочет выпендриться и рабоче-крестьянские манеры приукрасить буржуйскими или интеллигентскими прыжками и ужимками, получается только смешно, глупо и жалко. Содержание должно соответствовать форме.

Но есть и божий суд.. .

Пожалуйста. Лишь бы на здоровье было...

Вероятно, есть два случая.
1. Когда разговорное "по мне" является синонимом "по моему мнению", "по-мне". Тогда, я думаю, надо обособлять.
Что касается вашего предположения, то, по мне, оно крайне невыгодно в нашей ситуации.
Ну, а по мне, это не имеет никакого смысла.
2. Когда "по мне" является идиомой, означающей, что что-то не нравится или не подходит.
Тогда оно не обособляется.
Не-а, это не по мне.

Первый пример- это аналог "по ч. -л. мнению",стало быть, выделяется.
Второй всё же немного другой -"что касается меня". И тем не менее, оттенок вводного сообщения.
А вот ...Это не по мне- совсем другое. Смысл понятен, это явный эллипс, стоит особняком, словами не окружен, мучиться запятыми не стоит. Да и вообще, такие архаизмы, только для гурманов..