Почему одним и тем же словом обозначается – играть в какую-то игру или играть на каком-то инструменте?

А ещё есть "играть в кино", "играть на бирже" и т. д.
Так исторически расширилось значение.
Повидимому, "играть на инструменте" - это метафора. Основанием для её появления служит сема глагола "играть" в первом значении (играть в игру) , сема забавы, шутки. Поскольку изначально игра на муз. инструментах использовалась для развлечения господ и была исключительно забавой, возникло такое дополнительное значение, в дальнейшем закрепившееся.
Интересно, что в других языках процесс шёл несколько иначе. Так, в испанском tocar la guitarra дословно означает "трогать гитару", а итальянское suonar(e) il chitarrino - "звучать гитару".

Наверное, в исп. и итал. это как раз метафора, а в русском, возможно, просто расширение ЛЗ.

В языке вопрос "ПОЧЕМУ? " не всегда корректный, тк язык не всегда развивается по логичным и предсказуемым закономерностям. Есть этимология слова, есть его узус. И для вопроса "ПОЧЕМУ? " места как-то не остается.
Относительно слова играть: это в русском совпало, а в английском нет.
play __football... (спортивные и др игры)
play the violin ( Муз инструменты)
=> разницу создает артикль
Здесь вариаций на тему глагола play в английском языке очень много.

"Play is a term employed in ethology and psychology to describe to a range of voluntary, intrinsically motivated activities normally associated with pleasure and enjoyment." Англовики.
Тобиш игра - то, что приносит удовольствие\наслаждение. . кто играл, тот поймёт :-)

Я бы поставил вопрос так: почему не говорят "играть в наркотики" или "играть в секс" :-) последнее актуально для людей :-)

и играть на нервах тем же