If I had engaged in politics, I should have perished long ago. — Если бы я занимался политикой, меня бы давно не стало.

Это действительно условное предложение третьего типа, когда в придаточном условия употребляется форма Past perfect. Но в главном предложении это не Future Perfect in the Past, а сочетание WOULD (SHOULD) и PERFECT INFINITIVE (перфектного инфинитива без частички TO). Есть такая форма инфинитива, с помощью которой поясняют, что действие относится к прошлому. Сравните:
You should take an umbrella. (Тебе следует взять зонтик. )
You should have taken an umbrella. (Тебе следовало взять зонтик, а ты не взял)

Это условное предложение 3-го типа, относящееся к прошлому (действия на самом деле не было, но вот если бы оно было, то произошло бы то-то и то-то) . Future Perfect in the Past означает действие/состояние, которое было бы последующим (то есть будущим) по отношению к действию в условном предложении (то есть, сначала бы пошел в политику, а потом бы пропал и тп) .

- Если бы я занялся политикой/увлекся политикой, пошел в политику, я бы давно погиб/пропал и т. п.

en·gage - To involve oneself or become occupied; participate: engage in conversation - http://www.thefreedictionary.com/engage

предложение стоит в сослагательном наклонении и относится к моменту в прошлом- Если бы я (тогда, в то время ) пустился в политику, то меня не стало бы. поэтому здесь такое употребление времен.

условное третий относится к прошедшему
Если бы я занялся политикой, то я давно бы пропал