Почему в совр. русск. языке применяются и славянские, и совр. слова с одинаковым значением? И как правильно говорить?

Потому, что это естественно для живого языка: слова рождаются, живут, умирают, бывает что возрождаются и даже перерождаются. Это закономерность развития языка, и чем больше слов, тем он богаче (если это не слова-паразиты, уродцы-новоделы вроде незабвенных советских "Замкомпоморде", "НИИОМТПЛАБОПАРМБЕТЖЕЛБЕТРАБСБОРМОНИМОНКОНОТДТЕХСТРОМОНТУПРАСИАСССР" и непереведенные понятия, и так живущие в языке) . Каждый может выбрать себе слово по вкусу: устаревшее, сверхсовременное, "высокое" книжное, "низкое" просторечие или нечто среднее. Самый правильный выбор слов - чтобы подходило к ситуации и было понятно большинству, либо подчеркивало что-то, на что хочется обратить внимание.
Про "посягнуть": уже у Даля это слово имеет и современное значение.

>> Почему в совр. русск. языке применяются.. .

Ну, дошли эти древние слова до нас. Вот и употребляем. Но редко.

Если значения одинаковы, то стилистическая окраска разная, как правило.
глаза (нейтр. ) - очи (устар. , книжн. ) - буркалы (груб. )
То же и с чревом, одром.. .

>> посягнуть (слав. ) - значит выйти замуж; так как же можно.. .

Значения слов могут изменяться и изменяются со временем. Таких примеров сотни.

потому что язык - живой организм. что-то появляется и остается, что-то исчезает.

оба слова "очи" и "глаза" являются русскими, а не славянскими, убедиться в этом можно посмотрев в словари украинского и белорусского языков, в обоих этих языках глаза обозначаются словом однокоренным с русскими словом "очи" (например, по-белорусски "вочы"), просто в русском языке со временем слово "очи" из повседневной жизни было вытеснено жаргонизмом глаза (первоначально это слово означало "шарики, шары"), такое случается достаточно часто, например, во французском языке слово la tête (первоначально "горшок, котелок") заменило слово caput для обозначения "головы" (по-русски тоже например говорят "у тебя котелок не варит"?), а ещё в русском языке голову называют башкой (слово заимствовано из тюркских языков) .

а по поводу собственно славянизмом (т. е. слов заимствованных из церковно-славянского и старо церковно-славянского языков) дело в том, что русский язык подвергся в свое время сильнейшему воздействию со стороны церковного языка, например, влияние церковного-языка на родственные русскому украинский и белорусский языки было куда меньше, поэтому многие исконно-русские слова были вытеснены славянизмы, из-за чего либо стали стилистически не нейтральными (перешли в высокий штиль или же наоборот в низкий) , либо сменили свое первоначальное значение, либо одинаковые слова русского и церковно-славянского языка стали обозначать разные реалии:
исконное русское слово - современное русское слово - церковно-славянское - белорусское
шелом, шолом - шлем - шлем - шалом
полон - плен - плен - палон
(полон и шелом перешли в "высокий штиль")
одежа - одежда - одежда - адзежа
(одёжа перешло в "низкий штиль")
голова - голова - глава - галава (часть тела)
голова - глава - глава - галава (начальник)
(русское и славянское слава обозначают разные явления)
берег - берег - брег - бераг
(тут наоборот славянское "брег" перешло в высокий штиль)

ну а по поводу изменения значения слов, например праславянское слово вонь и производный от него глагол воняти означало "пахнуть" (т. е. имело нейтральное значение) , в церковно-славянском языке оно сохранило это значение (откуда в русский язык попали слова благовоние и зловоние, хотя "по-русски" вонь не может быть доброй (= хорошей) или злой (=плохой)) , по-русски слово "вонь" стало обозначать "плохой запах", а например, по-польски "вонь" - это "аромат, хороший (приятный) запах"