Правильно ли я понимаю, что в русском языке родительный падеж - это аналог анлийского 's после слова?

Не нужно ни в коем случае сравнивать русский язык и английский. Они принципиально разные по структуре.
В английском языке всего два падежа: Общий (common), и Притяжательный (possessive). Так вот 's - это притяжательный падеж. Он показывает принадлежность одного существительного к другому, при чем сначала всегда пишется "хозяин". Hideout's dweller - житель убежища. Dweller's hideout - убежище жителя. В английском языке фиксированный порядок слов в предложениях и словосочетаниях, в отличие от русского.

А функции, которые выполняют падежи в русском языке - в английском берут на себя предлоги, суффиксы и порядок слов в предложениях.

Нет, конечно! Мысли не хватает (чего? ) основательности.

Попробуйте это перевести притяжательным

в русском 6 падежей, в английском только два (общий и притяжательный) . притяжательных (это и есть ваше 's) указывает на ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ПРЕДМЕТА кому-либо или чему-либо. Существительное в притяжательном падеже является определением к следующему за ним существительному и отвечает на вопрос чей? Оно всегда ставится перед определяемым существительным, соответствуя в русском языке родительному падежу или притяжательному прилагательному. НО никогда НЕ СОПОСТАВЛЯЙТЕ русский и английский языки, не делайте параллели между русским и английским

Скорее притяжательный падеж = англ. s
Например: my father's room. Комната (чья? ) Папы

Нет, 's добавляется если предмет его или её например Sasha's father...-Сашин папа...

да