Почему нельзя сказать "побежу" (1 л. ед. ч. от "победить"), хотя можно сказать "ухожу", "наряжу", "посажу" и т. д.?

Наши предки были не столь стеснительны в словоупотреблении. Из молитвы великого князя Владимира:

"... и мнѣ помози, Господи, на супротивнаго врага, да надѣяся на Тя и на Твою державу, побѣжу козни его".

Очень забавные "обоснования" недостаточности глагола "победить" можно найти в Сети. Ну например: "Глагол ПОБЕДИТЬ не имеет формы 1 лица ед. ч. в будущем времени из-за неблагозвучия (победю) , поэтому правильно в данном случае использовать такие описательные конструкции: СМОГУ ПОБЕДИТЬ, ОДЕРЖУ ПОБЕДУ. " :)))
http://ask.fm/russian/answer/1000001878291

На самом деле исторически и грамматически правильной формой будущего времени от глагола "победить" будет "побежу" (наградить - награжу, разбудить - разбужу и т. п.) . Как видим, форма вполне удобопроизносимая. Отчего же она попала в немилость? Я считаю правильной догадку Андрея Котоусова, о том, что такая форма вызывает нежелательные ассоциации с глаголом "бежать".

В чём же здесь дело? Ведь омонимии в данном случае нет: "побежу", но "побегу". Мне представляется вероятной украинская (малорусская) версия. По-украински 1 л. ед. ч. от глагола "бiгти" (бежать) будет "бiжу". После воссоединения малорусских областей с остальной Россией в 17 веке резко выросло влияние малорусской культуры на общерусскую, в том числе и в языковом отношении (хорошо об этом у В. В. Виноградова в книге "Очерки по истории русского литературного языка 17-19 веков"). Поэтому для просвещённого русского слуха "побежу" уж очень напоминало малорусское "побiжу", т. е. побегу. Возникла комическая ситуация, когда у слова появилась как бы тень с ярко выраженным противоположным значением (грозимся победить, а на самом деле собираемся обратиться в бегство) . Это и решило судьбу данной формы в те времена.

Мне думается, что сейчас стоило бы вернуть её в язык, и это вполне реально.

Вот уже лет 200 как весь русскоязычный мир
мучается этой загадкой. Но никто не разгадал.
Почему-то нельзя - и точка. Язык - вещь особая.

потому, что исторически это разные формы.
в инфинитиве они тоже не похожи - бегать, уходить, наряжать.

Хотите задачку попроще? Есть слова: мёд, пёс, тёс, лён, лёд. Почему в родительном в одних словах ё пропадает (пса, льна, льда) , а в других остается (мёда, тёса)?

Из-за чередования согласных Ж и Г, например бежать/бегу. Со словом 'победить' образуется фонетически обманчивая пара: побежу/побегу. Чтобы избежать недоразумений в 1 лице единственного числа будущего времени используется синтетическая форма: одержу победу.
Основная функция языка - общение, коммуникации без двусмысленностей. В математике есть строгие правила, а в языке 'исключения' рождаются как бы сами собой. Если сказано, что у глагола нет 1 лице единственного числа будущего времени, то правило в том и состоит.

Есть такие глаголы в русском языке, от которых не имеем первого лица, что есть, то есть.

Ни одна ампутация не обходится без последующей фантомной боли. Так и в русском языке, который складывался далеко не сразу. Подобные казусы-исключения как раз и сигнализируют о том, что какой-то орган был отсечен. Так буква "Ж" в приведенных формах имеет разное происхождение и появилась она в этой позиции еще в глубокой древности и разными способами. В словах "ухожу", "наряжу", "посажу" она возникла из "дь" перед носовой гласной "Он", которая сначала обозначалась буквой "юс большой", а с ее отменой превратилась в "У". Что до слов "бегу" и "бежать", то в первом из них заднеязычный звук "г" мог стоять перед "Он", поэтому так и остался. Но во втором превратился в "ж" перед "Ен" (впоследствии "юс малый", а затем "я" или "а"), поскольку не имел мягкой пары (это явление называется палатализацией) .
Что касается загадки Михаила Левина, то это последствия другой "великой ампутации" - падения редуцированных "Ь" и "Ъ", которые раньше были гласными и под ударением превратились в "Е" или "О", а в безударной позиции просто исчезли. А некоторые "Е" или "О" были в слове изначально, поэтому и сохранились во всех формах.
Изучением этих процессов занимается один из интереснейших разделов языкознания, историческая грамматика.

правила нет, просто такая фигня с этим словом. сама лингвист, всегда над ним прикалывалась.
(есть еще вариант "победю", еще круче)
это из той же же серии что тост "за сбычу мечт". )

Потому что не звучит. Спрашивала у препода, она прям так и сказала. А правила действительно нет