Правильно ли составлено предложение: Пробежав пару минут, ему встретилось четыре прохода.

Не правильно, ибо по смыслу в этом предложении бежали проходы и встретились ему, после того, как бежали пару минут. Глупость же) Правильней бы было: Когда он пробежал пару минут, ему встретилось четыре прохода.

Нет конечно: бежал-то ОН, а не ПРОХОДЫ... .

Это довольно распространенная синтаксическая ошибка. Вам следует выбрать один из возможных вариантов:
а) Пробежав пару минут, он встретил четыре прохода.
б) Когда он пробежал пару минут, ему встретилось четыре прохода

Хотя, конечно, тут люди правильно недоумевают над содержанием вашего предложения. Более осмысленно звучало бы, например, так:
- Пробежав пару минут, он оказался перед четырьмя проходами.
- Когда он пробежал пару минут, перед ним оказались (его глазам предстали) четыре прохода.

Нет, правильнее - он встретил что-то там

Мне не совсем ясно кое-что.. . Ну, во-первых, если четыре, то они ВСТРЕТИЛИСЬ (это 100% правильно!!!) . А во-вторых, какие проходы? Где они встретились? Тут у меня ступор! Четыре проходимца могли встретиться, а вот проходы?... Встретиться могли только люди. Логичнее было бы написать "Пробежав пару минут, он оказался перед четырьмя проходами". И снова недоговоренность. Перед проходами куда? Пытаюсь снова написать: "Пробежав пару минут, он оказался перед четырьмя проходами к соседним улицам".
Так что в предложении нужно исправить на множественное число не только глагол, но и развернуть предложение, завершить его.

Нет, как то корявенько)

Надо сказать: "он увидел". Встретить можно кого-либо (одушевленный предмет) . А если хотите написать обязательно "встретилось", тогда лучше "встретились", потому что это они - проходы.

Попались на пути, скорее.