АНГЛ. Срочно помогите! Как правильно: I am finally AT home, I am finally IN home, I am finally home..?

I'm finally home.

I'm finally home конечно же правильно, но в разговорной речи обычно говорят I'm home at last

Оба выражения абсолютно верны!
I'm finally home. = I'm finally at home.
Так же как и выражения = to stay home = to stay at (!) home
Другое дело, что to be home, то есть БЕЗ предлога, частотней.
Сразу вспоминается начало диалога - Hi, David! I'm home!

ВСЕ примеры из Лингво в подтверждение:
One afternoon when I was home from school, he asked me to come to see a movie with him.
I am not completely at home in any Protestant Church.
I was at home on furlough.
Universal (Ru-En)
меня не было дома — I wasn't at home; I wasn't in.

His advice, offered to her unasked, was to stay home and make the best of things.
Найдено в: примерах.
CollinsCobuild (En-En)
They told him to stay home with his wife instead of going out and carousing with friends.

Jenny decided to stay at home with their young child/
I had to postpone ideas of a career and stay at home.
CollinsCobuild (En-En)
...tax concessions for mothers who chose to stay at home with their children

Я, наконец, у себя дома, я, наконец, в доме, я, наконец, дома ..?

at home -дома, у себя.
I'm at home at last

Выражение "быть дома" используется БЕЗ ПРЕДЛОГА в том смысле, что вы дома (в родном месте) . То есть правильный третий вариант (I'm finally home).
Если вы хотите сказать, что вы находитесь в доме (в здании) - I'm in the house.

I am finally at home

I'm home

In home...

Finally I'm Home