что это за грамматическая конструкция (английский)

care about -
• фраз. гл.
• 1) нравиться, любить
• I really care about the students in my class. — Я действительно люблю своих студентов.
• Syn:
• care for 1)
• 2) беспокоиться, тревожиться
• This writer, unlike most others, does not care about death. — Этот автор, в отличие от многих других, не думает о смерти.
• Don't you care about losing your job? — Ты не боишься потерять работу?

All the villagers WERE cared about identity of their murderer - в пассиве - все жители поселка были озабочены тем-то
вроде ок, но тогда уж WERE их много, а WAS c ед. числом исп.

А где же вы тут инверсию увидели?
All - подлежащее, was the identity - составное именное сказуемое, где was - глагол-связка, the identity - именная часть, выраженная существительным.
the villagers cared about - это отдельное предложение, придаточное определительное, которое в английском называется relative clause, c собственной полноценной грамматической структурой - подлежащим (the villagers) и сказуемым (cared about)

Вам было бы проще увидеть это, если бы присутствовал союз THAT, который в данном случае был опущен. Придаточное предложение просто поясняет слово "all'.

All THAT the villagers cared about was the identity of their murderer. - Всё, что заботило (волновало) сельских жителей, так это личность их убийцы. Всё здесь сходно со значением "единственное" - в смысле, что кроме личности убийцы они ни о чём больше и думать не могли. Поэтому вариант возможен такой -
Единственное, что заботило (волновало) сельских жителей, так это личность их убийцы.

Опускается союзное слово в том случае, когда является дополнением придаточного предложения, если же союзное слово является подлежащим придаточного предложения, его опустить нельзя.
Сравните:
The house (which/that) THEY bought is beautiful. - Дом, который ОНИ купили, очень красивый. (which/that - заменяет объект, а не подлежащее, поэтому здесь его опустить можно, ведь в придаточном есть собственное подлежащее they.)
The students who failed the exam can take it again in May. - Студенты, КОТОРЫЕ провалили экзамен, могут снова сдать его в Мае. (В этом случае союзное слово who опустить нельзя, так как именно оно является подлежащим придаточого предложения)
Аналогично и в следующем предложении:
The dog that lives next door has had 6 puppies.

Тут нет какой-то особой конструкции, и инверсии нет тоже. Здесь просто опущено относительное местоимение that "что" (что особенно характерно для неофициального языка) и присутствует словосочетание с предлогом care about something (интересоваться чем-то, волноваться по поводу чего-то) в определительном придаточном предложении.

В полном варианте предложение выглядело бы так:

All that the villagers cared about was the identity of the murderer.

all that the villagers cared about = всё, что волновало жителей деревни

Для русского языка это предложение необычно тем, что в русском языке предлоги, связанные с глаголом, отрываются от него в определительных придаточных предложениях и ставятся в начале определительного придаточного предложения. А в английском они остаются на своём месте, после глагола. Вот и всё. Например:

The book (that) you are TALKING ABOUT is very interesting.
Дословно:
Та книга (что) ты ГОВОРИШЬ ОБ есть очень интересная.
Книга, О которой ты ГОВОРИШЬ, очень интересная.

"(that) you are talking ABOUT" и "О которой ты говоришь" - придаточные предложения, определяющие подлежащее "book" и "книга".

Таков синтаксис английского языка. Не во всём он схож с русским синтаксисом.

Только первое предложение в Вашем вопросе является правильным. Предложения "без инверсии" (второе и третье) , хотя инверсии нет и в первом, являются грамматически неправильными.

последнее - точно нет, т. к. получится тогда, что личность убийцы заботилась о жителях деревни.
Второй ваш вариант подходит: All the villagers cared about identity of their murderer.
Первую фразу можно перевести так:
Все, чем были озабочены жители деревни - была личность их убийцы. В этом варианте автор применил инверсию для эмоционального выделения слова "all". Мне кажется так.