В школе меня учили - что "а" читается как "э" в таких словах как apple, say, hand, back, и т. д.

Эээээ... .
Вообще-то, разница в А/Э в ряде слов - это широкой известная разница в британском/американском английском соответственно.

Американцы вам скажут мэп (map), эппл, хэнд, бэк.
Британцы вам скажут мап, аппл, ханд, бак.
(Это если грубо, конечно, ибо тамошние "а" и "э" отличаются в произн. от наших) .
Можете послушать оба варианта в Macmillan English Dictionary for Advanced Learners - там есть и брит. , и амер. озвучка.

Т. ч. в школе вас просто учили по американскому вариану.

Странно, что здесь это никто не упомянул, а всех понесло кого куда.

Дело в том, что этот звук - нечто среднее между русскими звуками Э и А. В обычных школах с произношением особо не заморачивались, говорили просто Э.

В школе за образец принимается литературное южно-английское произношение. А то, что вы приводите, похоже на произношение не шибко образованных нижних классов, возможно, с севера. Ну и сделаем поправку на ваш фонематический слух.
Классовые различия в речи англичан вещь заметная. Не герцог ваш англичанин. Не подражайте ему.

Чистую "а" и чистую "э" они выговорить не могут в силу анатомических ограничений. Всегда получается что-то среднее. Хотите потренироваться, - выпейте полбутылки водки или, рекомендуется, - горячую картофелину в рот))

Слух у тебя плоховатый. Не читается "а" как чистое наше "э", это другой звук. И как "а" тоже не читается.

это был коварный план по обману населения - чтобы никто по-английски говорить не мог.
план удался...

Просто такого звука нет в русском языке. На самом деле это не Э и не А.
А объяснять вам пытались, отталкиваясь от знакомых вам звуков.
Школьная программа, к сожалению, не предусматривает долгого сиденья в лингафонных кабинетах. Бедные учителя. И аудио не дают, хотя бы на дом. А и давали бы - вряд ли кто стал бы слушать. ((( Восприняли бы как очередное усложнение программы, никому не нужное. Особенно школьники. (((
А надо слушать, ПРИСЛУШИВАТЬСЯ, и повторять.
Вот вам ссылка на сайт ВВС. Это видео. С двух ракурсов показана артикуляция. Там этот звук произносит не просто англичанка, а профессионал. Ведь у людей, у каждого, и у разных (скажем так) групп населения, произношение отличается.

bbc.co.uk/worldservice/learningenglish/grammar/pron/sounds/vowel_short_7.shtml

Ответ со ссылкой в полном виде, даже с пробелами, Мэйл не принимает. Пришлось "снести" всю переднюю часть. Теперь это надо скопировать, вставить в поисковую строку, здесь же на Мэйле. Enter!

Кстати, а что это за "сай" у Вас? Только что заметила. Это "say"? Но это же уже совсем другой звук! Не тот, что в apple, back, hand.

Диалекты разные и произношение. Личный пример - в Дели и Агре я с огромным трудом и не с первого раза понимал их английский, а вот на Гоа - без проблем.