Скажите, почему ЕгипЕт? Но приехать из египта? Куда Е в вопросе девается и почему?

Второе "е" в слове "Египет" - так называемая беглая гласная.
Беглые гласные возникли на месте особых гласных звуков,
существовавших в русском языке примерно до конца 12 века
и обозначавшихся на письме через "ь", "ъ" (мягкий ер и твёрдый ер) .
Это были звуки с неясным произношением, похожие на очень
короткие "е" и "о". В процессе развития языка все "еры",
занимавшие нечётное положение считая с конца слова, исчезли,
а чётные еры превратились в полные гласные "е" и "о" (правило
падения редуцированных) . Например: дьнь -> день ("ь" остался
только как знак мягкости) , сънъ -> сон и т. п.

Слово "Египет" в древнерусском языке писалось и произносилось "Египьтъ". В результате упомянутого выше фонетического процесса
стало произноситься "Египет", что и закрепилось на письме.
В косвенных падежах, однако, оставался только один из еров -
мягкий. Концевой твёрдый ер заменялся на падежную флексию:
Египьтъ - Египьта и т. д. Таким образом, теперь уже он становился
нечётным с конца и, по правилу падения редуцированных,
исчезал: Египет - Египта.

И это ещё один из самых простых процессов в исторической
фонетике нашего языка:)))

Беглое "е".

Да, в современном языке здесь беглое Е. Однако надо уточнить, что изначально никакого редуцированного на месте беглого Е в слове "Египет" не было. Он (редуцированный) появился уже в древнерусском. А потом из него и образовался беглый Е.

Насколько я помню, это называется скользящая е (о)

Е - беглая гласная. Такой термин есть в "Словаре-справочнике лингвистических терминов" Д. Э. Розенталя и М. А. Теленковой. Тот же словарь приводит примеры на беглые гласные: день - дня, сон - сна.
Интересно, что по-английски Египет - Egypt.