Этимология слова "лужа"? Имеется ли связь с "лужёный"?

Нет. Лужа - от праславянского lougi̯ā, а луженый - от слова лудить, которое предположительно имеет средненижненемецкие корни и происходит от слова loden

лу́жа

укр. лу́жа, др. -русск. лужа, словен. lúža, чеш. lоužе, др. -чеш. lúžě "лужа, болото", в. -луж., н. -луж. ɫužа – то же.

Праслав. *lougi̯ā родственно лтш. lugа "студенистая болотистая масса в зарастающих озерах", lugava "плохая, слякотная осенняя погода", l̨ugа "студень", лит. liū̃gas "слякоть, трясина", lugnai "вязкая грязь", лтш. Ludzа – местн. н., также название озера Ludzа и реки Ludze, иллир. *lugos или *lugā "болото" (Страбон 7, 314: ὁμοίως δε καὶ ἐκ Τεργέστε κώμης Καρ- νικῆς ὑπέρθεσίς ἐστι διὰ τῆς ᾽Οκρας εἰς ἕ λ ο ς Λούγεον καλούμενον); отсюда алб. lёgаtё "лужа, болото"; см. М. –Э. 2, 509, 510, 542; Бернекер 1, 748; Г. Майер, IF 1, 323; Alb. Wb. 242; Лескин, Bildg. 361. Связано чередованием гласных с *Luža; ср. *Лъжа, Лжа – приток Великой, лтш. Ludza; см. Буга, RS 6, 36. Далее, возм., сюда же греч. λυγαῖος "темный", ἠλύγη "темнота"; см. Лёвенталь, WuS 10, 169; Гофман, Gr. Wb. 107.

Этимологический словарь русского языка. Фасмер Макс

ЛУЖЁНЫЙ, лужёная, лужёное. Покрытый полудой, подвергнутый лужению. Луженая кастрюля.
❖ Луженая глотка у кого (разг. фам.) - о ком-нибудь, кто способен много пить спиртного или без устали долго кричать, петь.

Толковый словарь Ушакова

Какая ж тут связь?)

имеется связь с Лужковым...