Спорили с другом, не знаем как правильно.

Смотря что хотели этим сказать.

Если, допустим, перед этим идет фраза наподобие "Мы ничем не отличаемся...", а этим предложением уточняется, что кое-чем все же отличаемся, то нужно именно "кроме того, что" в качестве продолжения.

Если имеется в виду дополнение к ранее сказанному, то есть "Мы отличаемся тем-то, а еще тем, что не можем высвободить сразу всю ману", то слово "что" действительно лишнее.

Если предложение законченное, то "В отличие от вас, чужеземцев, мы не можем просто так высвободить всю накопленную в нас ману." Если незаконченное, то, Кроме того, что, в отличие от вас, чужеземцев, мы не можем просто так высвободить всю накопленную в нас ману, .."

"Кроме того, что, в отличие от вас, чужеземцев, мы не можем просто так взять и высвободить всю накопленную внутри нас ману." Здесь "что" - лишнее, т. к. с ним предложение не закончено.
Кроме того, что, в отличие от вас, чужеземцев, мы не можем просто так взять и высвободить всю накопленную внутри нас ману, мы ещё и не можем понять, нужно ли здесь "что" или нет. Здесь "что" - не лишнее.

Что - лишнее. Иначе должно быть дальше "но и ...".

лишнее

Все встанет на свои места, если убрать фразу "в отличие от вас, чужеземцев", а её можно убрать и посмотреть, что получится. Хотя, конечно... Если подумать... Первый комментатор прав. Зависит от контекста. Но в любом случае, убрав вышеупомяную фразу, вы все поймете.