Нужен ли артикль в данном случаи?

Ничего сложного. Так называемое распредмечивание - at school, in bed, in hospital - речь не идёт о здании школы, о кровати, больнице, а о деятельности - учёбе, сне, лечении.
В этих случаях артикль не нужен.
Если же мы говорим о месте работы, то артикль нужен. Школ или больниц много, человек работает в одной из них.

в данном случаЕ
в чаЕ

Не знаю, что за правило... вполне таки употребляется...

Все три варианта возможны, но смысл немножко разный.

at school работать в школе. Неизвестно какая школа, это неважно. Просто работает в школе, а не в универе.

at the school работать в той самой школе. Говорящий знает, о какой школе идет речь.

at a school работать в какой-то школе. Говорящий НЕ знает, о какой школе идет речь. Ясно, что там несколько школ. Это не деревня с одной школой.

Все понятно?

at school это преводится, как "на уроках, на занятиях" Это наречие.
Ты обвела не наречия, а простые члены предложения.
Учительница работает в школе. но она там не учится, а как раз преподает.

Ann is at school from 9-00 up to 14-00. Анна учится с 9 до 14 часов.

at school без артикля
Если кто-то at school, тогда он находится в школьном возрасте, если находится в здании ( в помещении ) то артикль нужен.
Но меня чо то смущает почему не in a school и не in the school ???