Объясните, пожалуйста, простым языком, что такое имя в грамматике?

Читайте здесь: https://slovar.cc/enc/brokhauz-efron/1615343.html

Это просто термин, никакого отдельного значения он не имеет. Имена бывают существительные и прилагательные, первые делятся на собственные и нарицательные. "Имя" без уточнения не значит ничего.

Имя-знак, код, марка, обозначение, присваиваемая кому (чему) либо.
Идентификатор.
Грубо...
По-этому и существительное, прилагательное, нарицатеьное, собственное итд.
Глаголу свойство имени никак не подставишь...

Считайте, что это паспортные данные

"Имя" используется, когда нужно написать что-то, относящееся одновременно и к существительным и к прилагательным, т. е. для краткости, чтобы не писать "имя существительное и имя прилагательное". Допустим, "склонение имён" означает "склонение существительных и прилагательных". У существительных и прилагательных есть много похожих (или одинаковых) грамматических категорий, потому их часто объединяют для объяснения чего-либо.
По-украински я не говорю, но подозреваю, что в украинском будет то же самое.

Имен в грамматике 4: сущ., прил., числ. и местоимение. Они обозначают предмет, качество или свойство предмета, или имеют отношение к предмету. Исторически имя противопоставляется глаголу и его формам, которые обозначают действие или имеют отношение к действию. Т. е., вероятно, первобытные люди общались при помощи имен и глаголов ( зверь бежит, луна светит и т. п.). Постепенно речь усложнялась формами имен и глаголов, некоторые из них стали самостоятельными частями речи, потом обособились так называемые служебные части речи (предлог, союз, частица) и междометие. Особо стоит сказать о наречии, которое обособилось как часть речи позже всех, где-то в 16 веке и несет в себе черты и глагола, и имени.

Может под "Имя" имеется ввиду Имя собственное? Название?

Это из латыни. Там у коренного населения были сложные взаимоотношения с плебеями, в итоге весь остальной мир до сих пор имеет странные отношения с грамматикой.