Нужен ли мягкий знак в имени Леша в обращении? (Лёшь)

Нет.
Мягкий знак на конце писать не нужно, так как в русском языке есть правило, что при сокращении имен данная буква не требуется. Правило нужно запомнить. То есть без мягкого знака пишутся и другие имена (сокращенные), к примеру, Наташ, Маш, Даш, Паш и т. д. Это касается имен с шипящими.

НЕТ

1. скорее не нужен
2. "новый звательный падеж" только еще появляется в русском, прямо на наших глазах, пока это разговорный вариант, орфографии к нему не придумано. Но лучше без Ь, чтобы не выглядело, как глагол повелительного наклонения.

Речь в Вашем вопросе - о падежных окончаниях ново-звательного падежа, само наличие которого в русском языке обычно игнорируют - во всяком случае, ни в одном школьном курсе русской грамматики я упоминаний этого падежа не встречал (равно как "отделительного", он же "второй родительный", "стакан чаю", или "второго предложного": "на доме - на дому").
Ну что же, давайте попробуем проанализировать сами - грамотному носителю русского языка это под силу.
Мягкий знак в ново-звательном падеже появляется тогда, когда в именительном падеже согласный звук омягчен последующей гласной: Катя - Кать, Ваня - Вань, Лёня - Лёнь, но Зина - Зин, Вова - Вов, Вера Вер... Я не вижу причин, по которым применение мягкого знака после шипящих должно было бы оказаться исключением!
Так что Саша - Саш, Лёша - Лёш, Гоша - Гош, Аркаша - Аркаш... А вот ново-звательный падеж от имени Шаши я бы уже образовал с мягким знаком - "Шашь", согласно тому же общему принципу. Шаши - это персонаж рассказа довольно приметного советского писателя середины 20 века Сергея Баруздина: https://online-knigi.com/page/53375

Нет. Мужской/женский род ни при чём..
http://www.bolshoyvopros.ru/questions/2118867-kak-pravilno-pishetsja-imja-sash-ili-sash.html

Нет.

Нет, не нужен) Так можно только к лешему обращаться)

лучше обратиться просто "Леший" и проблема сама отпадёт

Мягкий знак после шипящих - только для существительных женского рода вроде бы...)

Нет, не нужен

неа