На офф. сайте Почты России ошибка? Пишут "Соединенные Штаты Америки". Вроде же штаты должны быть со строчной буквы?

Соединенные Штаты Америки - это официальное название государства. А в таких названиях все слова (кроме служебных) пишутся с прописной буквы. А вот уже в названиях административно-политических единиц слово "штат" пишется со строчной буквы: Южно-Американские штаты, штат Южная Каролина. А в названиях учебных заведений (тоже по правилам русского языка) с прописной буквы пишется только первое слово. Так что - всё правильно на почте России пишут.

Соединенные Штаты от университета отличаются тем, что это топоним, а не название учреждения. Федеративная Республика Германия Соединённое Королевство, Острова Зелёного Мыса, Российская Федерация, Огненная Земля и прочее в таком же стиле - это всё топонимы (географические названия), и в них принято все слова писать с заглавной буквы.

Штаты пишутся с заглавной буквы, а вот слово официальный - с одной буквой "ф".

ну так университетов много, а Штаты одни. больше никаких в русском языке нет.
а вот поселков тоже много, поэтому слово поселок тоже с маленькой

Всё верно. С большой буквы
Соединённые Шта́ты Аме́рики (англ. United States of America), часто используются варианты США (англ. USA) или Соединённые Штаты (англ. United States, U.S., в просторечии — Америка)

И да, прописная это и есть большая, заглавная буква

нит ошибки

нет, "Штаты" пишутся также с большой. также и в "Российская Федерация" - "Федерация" с большой.

Нет, Штаты в данном случае пишутся с заглавной буквы

ну пишем же мы США. Точно так же, как и КНР, НОАК, КНДР