Как лучше произносить такие слова, как at, that, as и тд через "э" или "а", если учишь британский английский?

Открывайте рот как для А, а произносите Э. Всё вам, блин, преподаватели виноваты. Не надо зацикливаться на таких мелочах, лучше учитесь говорить помногу. У преподавателей такая программа, что они не знают, как в 40-минутные уроки всё это вместить, скачут по учебникам, пропуская целые модули. Один тут три месяца уже выясняет, как межзубные согласные произносить, вы на простейшем гласном зависли. Так никогда язык не освоите. Слушайте носителей и копируйте, ютуб на что? И быстрее вперёд продвигайтесь.

Британский - э, американский - а.

Это точно не А. Это средний звук между Э и А. Больше всего похоже на то, как если быстро произносить два звука ЭА.

Для обоих вариантов этот звук обозначается как [æ], но в UK и в USA произносится по разному. Конечно, это не русские звука /а/ и /э/, но в Британии в целом ближе к /а/, а в Штатах - к /э/.
Лучше послушайте как говорят носители...

Вопрос с "лягушкой" [æ] уже раскрыт выше — исторически это комбинация двух: а и е. А вот надо ли произносить аффрикативно звук [t] ? Надо в одном случае — если ему предшествует или последует гласная.

это ослабленная э. Настолько ослабленная, что иногда может звучать как вялая "а" или даже "ё" (зависит от слова например пёплексд). Вообщем немного опускаешь челюсть и мычишь.
ну или гугли schwa sound

Не советую использовать транслитерацию при освоении правильного произношения. Вообще "at" можно редуцировать до [ət], в остальных двух словах следует произносить [æ], вне зависимости от регионального варианта языка.

Нет. Эти слова произносятся со звуком [æ], как и в британском варианте, так и в американском варианте английского языка.

Но в безударной позиции, они произносятся не разборчиво. В транскрипции, гласные в безударных слогах, обозначаются нейтральным гласным звуком [ə].

_________________________________________________________________

В русском языке звука подобного английскому звуку [æ] нет.

Это краткий открытый звук. При произнесении [æ] нужно углы рта немного оттянуть в стороны, расположить язык максимально плоско во рту и довольно энергично опустить челюсть.

...

Англичане, конечно, не открывают широко рот, произнося звук [æ]; они умеют плоско располагать язык во рту. Но для тренировки этого звука необходима энергичная работа челюсти. В идеале, должен слышаться очень широкий вариант русского звука [э] с примесью звука [а].

Наверно э