I have a cat - У меня есть кошка (одна). Почему это должно быть не определенно (артикль "a")?

Неопределённый артикль подразумевает здесь, что для слушающего эта кошка неопределена, ранее ни видом не видовал, ни слыхом не слвхивал.

Кошек на свете много, одна из них - моя.

А ставится на слова начинающиеся с согласных, An ставится если с гласных.

Чувак, гораздо интереснее, почему в I'm a doctor стоит артикль a.

Если вкратце, то артикль "а" - более современный заменитель старого "an", что буквально переводится, как один. То есть, говоря a cat мы имеем в виду, что речь идёт именно об одной кошке, а не нескольких. Кстати, если существительное начинается на гласную, то ставят an, а не a :-) Ну патамушта сложно произнести 2 гласные слитно. Попробуйте сами сказать a elephant или там a umbrella. :-)

Фраза "У меня есть кто-то / что-то" предполагает, что человек выдаёт информацию о владении одним предметом из множества подобных. И имеет оттенок "а не какой-то другой". У меня есть кошка (одна из многих; именно кошка, а не собака). Поэтому I have практически всегда требует неопределённого артикля (если он допустим грамматически).
Фраза "У меня есть эта кошка" по сути бессмысленна. Какая эта? На которую ты показываешь? В этом случае говорят по-другому: эта кошка - моя. This\the cat is mine.

Потому что как такового контекста нету. Вы до этого о кошке не разговали, значит речь идет не об опреледенной кошке.

Есть у меня одна кошка... -начал бы ты разговор по-русски. И вряд-ли тут уместно говорить "у меня есть этот кот", если собеседник не знает, о каком коте речь.

Потому что ранее ты не произносил о кошке ни слова. Если бы ты сказал, i have a cat. То можно было бы потом сказать определенно: The cat name is morzella.

Артикль a = одна. I have a cat. - У меня одна кошка.
Артикль the = эта. I have the cat. - У меня эта кошка.