Как лучше сказать: I have always dreamt about being a musician или i have been always dreaming about being a musician ?

Первый вариант правильный.
И не слушайте тех, кто говорит, что первый вариант - это либо уже не мечтаю, либо уже стал музыкантом. Чушь! Если уже не мечтаю или если уже стал музыкантом, тогда это вообще не перфект, откуда же ему тогда взяться, ведь перфект как раз показывает связь с настоящим, тогда это был бы Past Simple.
С always, когда хотим сказать, что это было всегда вплоть до настоящего, употребляется PRESENT PERFECT. Примеры из учебников:
- Have you always worked as a manager?
- No, I haven't. I've worked as a manager for the past 3 years. Before that I worked as a teacher. (учебник Side by Side)
В Headway предложение:
My husband has always bought me flowers for my birthday.
контрастируют с My husband always bought me flowers for my birthday.
И объясняют, что в первом - муж всегда дарил вплоть до настоящего, и раньше и сейчас. Во втором - раньше муж всегда дарил цветы, а теперь не дарит. Суть проста:
Present Perfect на то он и Present, что связывает действие с настоящим, Past Simple эту связь не имеет: было-было и прошло.
Теперь 2 вопрос: почему Present Perfect, а не Present Perfect Continuous.
Да потому что когда мы говорим "Я всегда мечтал", "Он всегда работал там-то", "Она всегда красиво пела." и т. п. акцент вовсе не на длительности действия, а больше на опыте, связи с настоящим.

I always wanted to be a musician

I've always been dreaming - подчёркивает непрерывность или регулярность процесса

Я всегда мечтал .. и им стал---это первый вариант
Я до сих пор мечтаю.. ---видимо не стал, и этот процесс "мечтания " длится до сих пор

Оба варианта привильные, в зависимости от того, что конкретно вы хотите сказать. Если имеете ввиду, что вы до настоящего момента мечтали быть музыкантом, но больше не мечтаете, то нужно пременить первый вариант (перфект). А если вы продолжаете мечатат об этом, тогда воторой вариант (перфект континиус).

Однако, в этих предложениях смущает слово "always". С этим словом лучше применить прошедшее простое или простое настоящее время. А если вы хотите указать время этих мечтаний (Perfect or Perfect Continuous), тогда вместо "always" скажите например: "since I was young/child/etc."

"The old man was dreaming ABOUT the lions" = Старику снились львы, чисто конкретные, не в первый раз... А здесь лучше OF - тем более с элементом предвкушения.
Поэтому, вроде как "I have always been dreaming of being a musician" - не просто стать (по диплому), а существовать в таком качестве... "как я буду..."

Второй лучше, имхо. И лучше заменить being на becoming, а about на if. А ещё always в начале ставится. Вот так: I've always been dreaming of becoming a musician

первое правильно

во втором always надо поставить перед been.