Стоит ли избавляться от русского акцента? Почему?

Нет. Займёт много времени и абсолютно бесполезно

Тебя могут просто не понять.
Когда англичанин пытался со мной говорить по-русски,
я реально не понимала!.. ((

Смотря для каких целей вам нужен иностранный язык.
Если просто объясняться в поездках, то акцент не страшен, если он не настолько сильный, что вас невозможно понять.
Если вы планируете делать карьеру в иностранной компании или сотрудничать с иностранцами, то с ошибками в произношении вас не будут воспринимать всерьез.
Ну и, конечно, если вы хотите преподавать иностранный язык, этого нельзя делать, если вы сами не умеете на нем правильно говорить.

Есть люди, работают в США и намеренно говорят с русским акцентом. Просто им лениво квакать. А на понимание акцент почти не влияет.

Был и противоположный случай. Приколист из России развлекался тем, что начинал рассказывать в американской пивной о своём трудном американском детстве. На акценте какого-нибудь штата. И все его жалели

Это желательно, но необязательно, если акцент несильный. В этом случае он не влияет на понимание. Вот если он сильный, тогда вас просто плохо будут понимать и избавление от акцента становится критичным. Трудоёмкость этого процесса зависит от соотношения фонетики родного и изучаемого языков. Т. е. с разными языками по-разному.

чтобы не звучать как кавказец на рынке

он сам исчезнет со временем

Не знаю, что Вы имеете в виду под акцентом, но если будете изучать фонетику и работать над правильным произношением разных звуков, аналогов которых нет в русском языке, над интонацией, которая тоже отличается от таковой в русском языке, то акцент сам собой исчезнет со временем. Если перефразировать этот вопрос следующим образом: "Нужно ли изучать фонетику иностранного языка, чтобы произносить звуки и фразы правильно?". Ответ – да. Если Вы спросите почему, то это потому, что фонетические навыки входят в компетенцию владения иностранным языком, кроме того, если Вы будете внимательно относиться к тонкостям иностранного языка, то и носители Вас будут воспринимать куда более серьезно. Будете ли Вы, например, серьезно воспринимать человека на деловой встрече, если он не будет правильно произносить русские звуки или будет задавать вопрос с интонацией восклицания или утверждения? Не возникнет ли у Вас мысли, что если он в языке недостаточно компетентен и подходит поверхностно к такой важной его стороне, как фонетика, то он такой же и в вопросах бизнеса?