Для чего в конце предложения стоит to? разве нельзя просто wanted to speak?

...the old woman that Arbogast wanted to speak to.
...та старая женщина, с которой Арбогаст хотел поговорить.

Предлог здесь нужен обязательно, иначе будет неувязка... ( "?" которой он хотел поговорить... а где С?))
Предлоги в английском часто выносятся в конец фразы.

Другой вариант:

... who(m) Arbogast wanted to speak to/или with, как вариант. Всё равно предлог нужен!

ДопустИм предлог with, но автор подчёркивает мысль, что Арбогаст был бы инициатором разговора, а не та женщина.
То есть, именно ОН хотел ей что-то сказать, а не просто поболтать "на равных".
Предлог 'to' часто соответствует русскому дательному падежу (кому, к кому)...

Тут не говорить, а говорить С.

хотел поговорить с ней, с = to

to относится к that.
to that = с которой, но по правилам английского предлог не ставится перед вопросительными и относительными местоимениями в начале предложения (в данном случае - придаточного), а выносится в конец. Исключение разве что whom, но оно уже редко употребляется.
Без to получится что-то типа "которую Арбогаст хотел поговорить".

"He wanted to speak" означает, что он хотел произнести речь. Предлог "to" нужен для того, чтобы указать на то, что он хотел поговорить с конкретным лицом, а не орать в толпу...

... that ...to - с которой (старуха, с которой Аброгаст хотел поговорить)

Так положено значит. Надо учить инглиш хорошенько

wanted - разыскиваемый

можно, только будет что хотел, чтобы женщина говорила (тут как-бы больше тогда будет смысл - хотел, а она не говорила)

Такая грамматика