Родственность слов доить и дети понятна,так как ранее доить означал вскармливание,однако почему поить и петь родственны?

Примерно по тому-же самому - ранее "поить" означало вспаивание.

Оба слова означают выхождение вещества или звука из контейнера.
Другие примеры:
ПОПКА - [p] Раздувание щёк, с возможным последующим резким выпусканием воздуха. Означает увеличение размера. Однокоренные: поп - важный человек в религии, "шишка", выпуклость, population (фр.) - прирост населения, popcorn (англ.) – раздувшиеся семена кукурузы, lollipop (англ.) – утолщение карамели для лизания, пукнуть.
ПРУ – при формировании звука П губы плотно сжимаются, что имитирует наличие какой-либо преграды, затруднения в действии, которое заканчивается прорывом воздуха с вибрацией языка, звук [r]. Это сочетание звуков добавляется к описанию затруднённого действия: преодолеть, протиснуться, преграда, просунуть…
ПУШКА – [p] воздух, вырывающийся из резко размыкающихся губ, как при выстреле. Push (толкать, англ.), пуша (курить, болг.).

Дети одного корня с такими терминами как deus "бог" (два, больше, duo, too, тоже) и death "гибель". Глагол "доить" будет родственным с "давить" (й > в) - см.дай и давать. И это не вскармливание, это выжимать молоко из вымени. Дети и доить совсем даже не родственные слова.

Петь, пою, поёт, пой. Пить, пью, пьёт, пей. Бить, бью, бьёт, бей. Вить, вью, вьёт, свей. Мыть, мою, моет, мой. В одних словах при письме использовали ять, в других е (э). Пчела - пчёлы, свеча - свечи, стена - стены, слеза - слёзы. Там, где будет Е применяли ять, произносили как æ. То есть не "петь", но "пæть" и также вариант с назализацией пæнт. Поэтому петь и пять (пæнт) будут родственными словами с общей семантикой "вместе, сбор" (зов, призыв) и пить - соединяться, объединяться, сливаться.