В чем разница между "I'm looking for" и "I'm searching for"?

Практически у каждого английского глагола романского корня есть германская пара, причём романский член такой пары будет, как правило, иметь бóльшую степень формальности, а порой и книжности: search for (романский корень)- look for (герм.корень), invent - think up, survive smth - live through smth, regard as - take for, resemble - take after, shock/ surprise - take aback, ponder - think, relax - kick back, defend - uphold, assist - help, ascend - go up, descend - go down, collect - gather, assemble - put together, disassemble - take apart и т.д.
Кстати, в вашем примере для "look for" также существует и германский синоним "seek".

Ищу(глазми), ищу с помощньiми средствами, перепотрошив.

второй вариант более интенсивный... ты прямо в этот момент занимаешься поиском...

Смысл одинаковый. Вторая - более формальная.

Как бы это точнее выразить... Первое - более общее.

две не верно выстроенные фразы.

Ну look_for фразовый глагол с частицей for а search просто глагол с предлогом for
У металлики в песне seek and destroy оба глагола используются ответа это на вопрос не дает но один из примеров использования дает.

Ilook -- поиск какого-то предмета или нужной улицы или нужного человека.
Search -- это исследование какого либо места или предмета.
Например --
Я потерял часы и ищу их -- I am looking for my watch ///
Где я их ищу? Я шарю (исследую) по карманам, обыскиваю пол, ишу их под кроватью -- Что я делаю -- это search
I am searching my pockets, I am searching the flow
Более подробно растолковывается здесь
https://yandex.ru/video/preview/11287233275197878550

Я смотрю для, я ищу для