Вопрос к лингвистам.

Тут скорее, общим является не корень, а суффикс "от"
https://russkiiyazyk.ru/sostav-slova/suffiks/suffiks-ot-primeryi.html

В пользу этого говорит то, что в праславянском были два варианта слова "заботиться": "зобаться" и "зоблиться"
https://ru.wiktionary.org/wiki/%D0%B7%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%B0#%D0%AD%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F

Как видим, корень один, а суффиксы разные. Есть версия, что корень "зоб" в древности означал "питание". Возможно, поэтому питательный мешок у птиц назван "зоб".

То же самое можно сказать о слове "работа" Звук "б" сохраняется в корне не только русских слов (ребёнок, раб..) но и зарубежных. При этом последующие суффиксы могут быть самыми разными.
https://ru.wiktionary.org/wiki/%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%B0#%D0%AD%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F_2

ТРЕНИЕ [ tr ] - имитация звука, возникающего при трении. Также другие слова, связанные с усилиями по преодоления сопротивления, трудностей: трудно, тормоз, три, полтора, утро, завтра, работа, раб, резина, rubber (англ. резина), rub (англ. тереть), робити (укр. делать), робот.

У слова забота, корень "забот". В древнеславянском писалось через "о" - зобота...

корни разные... бот и раб...

ботать - чесать языком... поэтому старославянский "бот" подходит и туда и туда...)))

Каждая буква смысл , буки он твёрдо

Лодка такая была или сапожок

Рабо́та. Заимств. из ст.-сл. яз. Из общеслав. *orbota, суф. производного от *orbъ (> рабъ).
Забо́та. В древности писали «зобота», это слово связывают с древним «зобь» — «пища».
Так что с ботами эти слова точно не связаны. Хотя... между ботом и рабом есть что-то общее, оба ботают по заказу)))

БОГ