Почему перезванивать пишется буквой а, а перезвонить буквой о. Корни разные? Почему?

Безударная О проверяется проверочным словом "звон".
В слове "перезванивать" А под ударением, поэтому пишем то, что слышим.

Поскольку русский язык - самый (?) развитый язык мира, из него активно вытесняются полуживотные гортанные звуки и заменяются менее гортанными. Часто такая замена происходит лишь частично, по мере удобства произношения. И тогда мы говорим о "чередовании" звуков.

Например, "акание", то есть, замена безударного гортанного "о" на менее гортанное "а" ("Масква", "хароший"..). Такая замена не только является "человечной" и потому сравнительно молодой, но и эпизодичной, незавершённой и частичной и потому не нашла отражения на письме.

Аналогично не закрепилась на письме частичная замена гортанного "г" на более передний и современный звук "в" в слове "его". Частичная потому, что "в" в слове "его" чуть смещена к гортани по сравнению с полноценным звуком "в", как в слове "вот".

Замену гортанных корневых звуков мы часто видим в глаголах неопределённой формы продолженного времени (перезвОнить-перезвАнивать, перетЕреть-перетИрать). Причина такой замены состоит в том, что окончание "ать" сплошь состоит из "передних" звуков. И это становится хорошим поводом заменить ближайший гортанный корневой звук на более передний ("о" на "а", "е" на "и"..). То есть, осовременить-очеловечить произношение.

Чтобы не путать ЗВОН и ВОНЬ.

Нет. Обычное чередование гласных в корне. Для образования новых, но родственных слов. Традиционное явление в русском языке. И не только в русском.