В словосочетании «посягнул на святая святых» надо ли заключать в кавычки «святая святых»?

Только если хотите сказать это с издёвкой.

Святая святых, также устар. святое святых или святое-святых (др.-греч. ἅγιος αγίων, лат. sancta sanctorum) — калька с еврейского Кодеш ха-Кодашим (ивр. ‏קֹדֶשׁ הַקֳּדָשִׁים‏‎) — самое сокровенное место Скинии собрания, а затем и Иерусалимского храма, где хранились Скрижали Завета[1].

Этим именем обозначалась внутренняя часть Скинии собрания, отделённая от внешнего помещения завесой (парохет), в которой находился Ковчег Завета[2]. Святость места определялась ещё и тем, что именно там, над ковчегом, Господь являлся первосвященнику для провозглашения своей воли и заветов еврейскому народу[3]. В Иерусалимском храме Святая святых называлась также двир (ивр. ‏דְּבִיר‏‎, в русском Синодальном переводе — давир[4]) и в ней располагался Камень Основания (или Краеугольный камень) Храмовой горы, над которым сейчас стоит мусульманский Купол Скалы. Согласно Талмуду, с него Господь начал Сотворение мира[5].

Святая святых в иудаизме характеризовалась как место, где физически ощущается присутствие Божье (см. Шехина).

Нет.

Это зависит от того - действительно-ли это святая святых, или якобы "святая святых".

Скорее всего да, потому что «святая святых» это типа как название одного объекта двумя словами
Например, для кого-то «святая святых» - это дерево, т.е. вместо данного слова использовано словосочетание
Хотя иногда все зависит от смысла
Кавычки также используются, если слова не имеют прямого значения, т.е. используется в шутку к примеру

Не нужно. Это устойчивое выражение (фразеологизм), а они обычно в кавычки не заключаются.