Как правильно фамилия Rotenberg или Rothenberg ?

Совершенно не соглашусь с утверждением, что только немецкие фамилии пишутся как Rothenberg, а ашкеназские Rotenberg. И среди носителей Rothenberg полно носителей еврейского происхождения из Америки и Израиля, так и естественно немцев, также и с Rotenberg.

Вообще, стоит уточнить, что изначально эти фамилии, происходят от разных по значению географических названий.

Грубо говоря, Rotenberg - самый простой перевод - красная гора от rot - красный, т.е. гора из бурой, красной земли, или с замком на ней из красного кирпича, например.

А Rothenberg - это гора, с выкорчеваным с неё лесом, можно сказать "лысая гора", от староверхненемецкого прилагательного rothe- , образованного от глагола roden - выкорчевывать.

Так что, у российских Ротенбергов могло быть изначально и то и другое написание фамилии, а потом уже в России, при записи кириллицей, традиционное написание уже утратилось, так как написание латиницей уже не имело такого важного значения для её носителей.

Неправильных фамилий не бывает. Как владелец фамилии ее пишет - так и правильно.

То есть, какая была фамилия, до того, как ее стали записывать русскими буквами?
Зависит от того, кем были предки. Если из немцев, не утративших связь с языком, то Rothenberg.
А если из ашкеназов, то фамилия писалась на идише, и th там не нужна.
Если связь поколений утрачена, то пишется по правилам русской транскрипции, например, Shternberg, Einshtein

для русс языка разницы нет.
посмотри, сколько глупцов/мелкоты вокруг ...

Ирак или Иран - вот в чем вопрос.

Это две разные фамилии.

Наротонберг

Сказка про гуся

Вротенберг

Роттердам