Кем приходилась сватья баба Бабариха трем девицам? Зачем ей интриги? Она мать батюшки царя?

Она никоим образом не может быть матерью царя: что это за бабушка, которая изводит родного внука? Скорее нужно предположить: Гвидон Бабарихе - не родной внук, а внучатый племянник. Тогда она ему - все равно бабушка (двоюродная, но это обычно говорить не принято. К двоюродным бабушкам внуки все равно обращаются "бабушка"). И все встает на свои места: Ткачиха и Повариха - родные сестры, а Царица - их двоюродная сестра. Бабариха же может быть либо матерью Ткачихи и Поварихи, либо сестрой их отца. В любом из этих случаев по отношению к Салтану она - сватья, то есть сестра тёщи или тестя. Возможен и другой вариант - Царица приходится Ткачихе с Поварихой не двоюродной, а единокровной или единоутробной сестрой (только по матери или по отцу) . Тогда еще понятнее: Царице Бабариха либо мачеха, либо сестра мачехи. Опять-таки, и в этом случае, по отношению к Салтану она - сватья.

Она или мать царя, или самих трех сестер и бабушка князя Гвидона.

Сватья - это не сваха! Слово сватья обозначает родственницу одного из супругов по отношению к родственникам другого. Если Бабариха приходится сватьей сестрам царицы, значит, она родственница царя Салтана.
А в одном месте о князе Гвидоне, сыне царя Салтана, говорится: "Но жалеет он очей
Старой бабушки своей". Скорее всего, здесь и имеется в виду Бабариха.

Значит, раз Бабариха приходится Гвидону бабушкой по отцовской линии, значит, она мать царя Салтана и свекровь царицы. Тогда многое становится понятным. Свекровь, недовольная выбором сына, пытается извести его жену, действуя при этом заодно с завистливыми сестрами невестки.

Она сватья. А сватья (сваха) раньше-большой человек

Сватьи между собой матери мужа и жены, а сваты - отцы. В контексте не очень понятно, кому Бабариха родственница, там для этого женатых нехватает. Похоже, просто для рифмы влеплено.
Как вариант - свекровь матери трех девиц, тогда понятно, почему баба.