В какое именно время Пушкина признали великим поэтом?

К юбилею его смерти.
Сталин назначил великим.
А во времена Пушкина самым популярным был Булгарин.
Подробнее у М. Веллера.

Популярность раньше заключалась в количестве переписок. Т. е. переписчик садился, брал перо и делал 10-20-30 рукописных копий, которые передавались другим людям, те тоже переписывали. Так создавалась известность)) Лермонтов своим стихотворением подлил масла в огонь.

Наверное после Оды его сиятельству гр. Дм. Ив. Хвостову

Так ведь как сказать - кто признал?
Кто поумнее - еще при жизни. Старшие поэты уже в юном Александре разглядели великого поэта, тридцати-семилетний Жуковский подарил двадцатилетнему Пушкину свой портрет с надписью "Победителю-ученику от побежденного учителя". Денис Давыдов (старше на шестнадцать лет) восхищался легкостью стиха. Царь Николай Павлович после личной встречи с Пушкиным сказал Блудову: "Знаешь, что я нынче долго говорил с умнейшим человеком в России". Одоевский написал в некрологе: "Солнце нашей Поэзии закатилось!" Про речь Достоевского на открытии памятника Пушкину Вам уже написали, добавлю, что в тот же день не менее прочувствованную речь произнес и Тургенев. Впоследствии о величии Пушкина и его вкладе в русскую культуру писали и Цветаева, и Ахматова, и кто только не писал! - неглупые все были люди.
А кто поглупее - так тоже и при жизни писали, что ничего особенного, так, мелкий чиновник, пробавляющийся стишками, и в начале двадцатого века были желающие "сбросить его с корабля современности", и нынче талдычат про его "переоцененность" и "распиаренность".
Но тут уж - как сказала Раневская некоторой "культурной" тетке, заметившей, что Мона Лиза не производит на нее впечатления: "Эта дама в течение стольких веков на таких людей производила впечатление, что теперь она сама вправе выбирать, на кого ей производить впечатление, а на кого нет!"

при коммунистах

Ещё при жизни Пушкина сложилась его репутация величайшего национального русского поэта. Пушкин рассматривается как основоположник современного русского литературного языка.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Пушкин,_Александр_Сергеевич

Тут как со святыми. Их всех канонизируют после смерти

В середине позапрошлого века.
В 1859 году определили, что "Пушкин -- наше всё", в 1880-м Достоевский произнес дифирамб в его честь -- и уже никому не пришло в голову возражать или троллить.

За три дня, пока гроб с телом поэта стоял в его доме, с ним пришли попрощаться 32 тысячи человек.
Настроения в столице в те дни были таковы, что русские могли устроить погром против иноземной элиты, которую они и считали главным виновником смерти Пушкина. Василий Жуковский вспоминал про эти настроения:
«Все население Петербурга, а в особенности чернь и мужичье, волнуясь, как в конвульсиях, страстно жаждало отомстить Дантесу. Никто от мала до велика не желал согласиться, что Дантес не был убийцей. Хотели расправиться даже с хирургами, которые лечили Пушкина, доказывая, что тут заговор и измена, что один иностранец ранил Пушкина, а другим иностранцам поручили его лечить».

ht tps://rusplt.ru/society/proschanie-s-pushkinyim-7971.html

Как только написал Руслана и Людмилу, так сразу и признали в 20-м юноше великого поэта.

А его таки признали? Лично для меня он и сейчас обычный рифмоплёт, гонящий какую-то пургу

Пока он на одной из пьянок, не начал стрельбу из за бабы. А был бы великим. Всë дело в вине.

Ему Царь жалование платил. Николай 1. Хорошее жалование.
Ещё есть старая история,
как Гоголь приехал к великому Пушкину пообщаться, но тот спал.
Спросил слугу, что мол, спит великий поэт после работы всю ночь?
Какое там, - ответил слуга, - бухал всю ночь барин.