На какие цифры могут оканчиваться степени числа 129. Пожалуйста с подробным решением .

Чему равно число по модулю 10 на такую цифирь и заканчивается.
129 само равно (сравнимо) с 9 по модулю 10
129 в степени N по модулю 10 равно 9 в степени N по модулю 10
Любая четная степень 9 представляется степенями 81, сравнимого с 1 по модулю 10, потому любая четная степень 129 заканчивается на 1.
Любая нечетная степень 9 представляется каким то количеством степеней 81 и ровно одной 9-ой, потому сравнима опять с 9 по модулю 10 и заканчивается на 9, потому и любая нечетная степень 129 тоже заканчивается на 9
Конечно, было бы лучше всё это излагать на формальном языке, но у меня сегодня на это сил уже нет

Очевидно, на те же цифры, что и степени 9

9^0 = 1
9^1 = 9
9^2 = 81
9^3 = 729
9^4 = 6561
9^5 = 59049
9^6 = 531441
9^7 = 4782969
9^8 = 43046721
9^9 = 387420489
9^10 = 3486784401
9^11 = 31381059609
9^12 = 282429536481
9^13 = 2541865828329
9^14 = 22876792454961
9^15 = 205891132094649
9^16 = 1853020188851841
9^17 = 16677181699666569
9^18 = 150094635296999121
9^19 = 1350851717672992089
9^20 = 12157665459056928801
9^21 = 109418989131512359209
9^22 = 984770902183611232881
9^23 = 8862938119652501095929
9^24 = 79766443076872509863361
9^25 = 717897987691852588770249
9^26 = 6461081889226673298932241
9^27 = 58149737003040059690390169
9^28 = 523347633027360537213511521
9^29 = 4710128697246244834921603689
9^30 = 42391158275216203514294433201
9^31 = 381520424476945831628649898809
9^32 = 3433683820292512484657849089281
9^33 = 30903154382632612361920641803529
9^34 = 278128389443693511257285776231761
9^35 = 2503155504993241601315571986085849
9^36 = 22528399544939174411840147874772641
9^37 = 202755595904452569706561330872953769
9^38 = 1824800363140073127359051977856583921
9^39 = 16423203268260658146231467800709255289
9^40 = 147808829414345923316083210206383297601
9^41 = 1330279464729113309844748891857449678409
9^42 = 11972515182562019788602740026717047105681
9^43 = 107752636643058178097424660240453423951129
9^44 = 969773729787523602876821942164080815560161
9^45 = 8727963568087712425891397479476727340041449
9^46 = 78551672112789411833022577315290546060373041
9^47 = 706965049015104706497203195837614914543357369
9^48 = 6362685441135942358474828762538534230890216321
9^49 = 57264168970223481226273458862846808078011946889
9^50 = 515377520732011331036461129765621272702107522001

129^n=(120+9)^n=120^n+n*120^(n-1)*9+ ..+n*120^(n-1)*9 +9^n.
Все члены, кромке последнего, имеют 0 на конце ==> и их сумма тоже.
Т. е. степени числа 129 оканчиваются на те и только те цифры, на которые оканчиваются степени числа 9.
А это, очевидно, 1 и 9.