Аналитическая геметрия. Даны вершины треугольника АВС. А (6, -9) ; B(-6, 2) ; С (-4, 1)

а) Используем уравнение прямой, проходящей через две точки, заданные своими координатами:

(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1)

Для стороны АB подставляем сюда координаты x1 = x(A) = 6; x2 = x(B) = -6; y1 = y(A) = -9; y2 = y(B) = 2. Получаем:

(x - 6) / (-6 - 6) = (y + 9) / (2 + 9)
(x - 6) / (-12) = (y + 9) / 11
11(x - 6) = -12(y + 9)
11x - 66 = -12y - 108

Окончательно: 11x + 12y + 42 = 0

Аналогично для стороны AC подставляем сюда координаты x1 = x(A) = 6; x2 = x(B) = -4; y1 = y(A) = -9; y2 = y(B) = 1. Получаем:
(x - 6) / (-4 - 6) = (y + 9) / (1 + 9)
(x - 6)/(-10) = (y + 9) / 10
x - 6 = -(y + 9)

Окончательно:
x + y + 3 = 0

Проверить себя можно при помощи калькулятора: http://www.math.by/geometry/eqline.html

б) Зная уравнение прямой AB, на которую падает высота CH, найдём её угловой коэффициент. Для прямой, заданной в общем виде Ax + By + C = 0 он равен -A/B, если B ≠ 0 и ∞, если B = 0. В данном случае A = 11, B = 12, поэтому k(AB) = -11/12. Для прямой, перпендикулярной данной с угловым коэффициентом k1, угловой коэффициент равен k2 = -1/k1. Тогда угловой коэффициент прямой CH равен 12/11.
Теперь воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку C (x0; y0) с угловым коэффициентом k:

y - y0 = k(x - x0)

В данном случае y0 = 1; k = 12/11, x0 = -4. Получаем:

y - 1 = (12/11)(x + 4)
11y - 11 = 12x + 48

Окончательно
12x - 11y + 59 = 0
Это и есть уравнение прямой СH

в) Найдём координаты точки M - середины отрезка BC по формуле x(M) = (x1 + x2) / 2; y(M) = (y1 + y2) / 2. При подстановке координат точек B и C получаем:
x(M) = (-6 - 4)/2 = -5;
y(M) = (2 + 1)/2 = 1,5
и найдём уравнение прямой AM^
(x - 6) / (-5 - 6) = (y + 9) / (1,5 + 9)
(x - 6) / (-11) = (y + 9) / 10,5
10,5(x - 6) = (-11)(y + 9)
21(x - 6) = (-22)(y + 9)
21x - 126 = -22y - 198

Окончательно:
21x + 22y + 72 = 0

г) Решаем аналогично б), только теперь используем то, что угловой коэффициент прямой, параллельной данной, имеет тот же угловой коэффициент, т. е. -11/12

y - 1 = (-11/12)(x + 4)
12(y - 1) =(-11)(x + 4)
12y - 12 = -11x - 44

Окончательно:
11x + 12y + 32 = 0

д) Для нахождения расстояния от точки до прямой приведём уравнение прямой к нормальному виду, разделив на выражение √(A² + B²)

Получим:

√(A² + B²) = √(11² + 12²) = √(121 + 144) = √265
Уравнение прямой 11x + 12y + 42 = 0 в нормальном виде:
(11/√265)x + (12/√265)y + 42/√265 = 0

Тогда для получения расстояния от точки до прямой, подставляем в левую часть координаты данной точки и берём модуль. Получим:

d(C, AB) = |(11/√265) * (-4) + (12/√265)*1 + 42/√265| = |(-44 + 12 + 42)/√265| = |-10/√265)= 10/√265

е) Для нахождения угла между прямыми BA = AB и AC воспользуемся формулой:

tg ф = |(k1 - k2) / (1 + k1k2)|, где k1 = -11/12 и k2 = -1 - угловые коэффициенты прямых:
tg ф = |(-11/12 +1) / (1 + (-11/12)(-1))| = |(1/12) / (1 + 11/12)| = |1 / (12 + 1)| = 1/13
Тогда угол равен ф = arctg (1/13)

ж) Для нахождения площади треугольника можно сначала найти длину отрезка AB по формуле:

AB² = (x1 - x2)² + (y1 - y2)² = (6 + 6)² + (-9 - 2)² = 12² + 11² = 265, AB = √265

А затем умножить половину этой стороны на высоту CH, которая равна расстоянию, найденному в п. д (d = 10/√265). Получаем S = (1/2) * √265 * 10/√265 = 5

5