Помогите решить параметр

давай попробуем (если честно я не решал уравнения с параметром)

1)
логично что из первого уравнения

чтобы логарифмы были равны то долны быть и равны их подлогарифменные выражения при этом они долдны быть больше 0

16-ax^2 = 16-y^2
ax^2 = y^2
x^2 = (1/a)*y^2

вернёмся ко второму уравнению

(1/a)*y^2+ y^2 = 8*(sqrt((1/a)*y^2)) + 4y

y^2 * ((16/a)+1) = 8 * ((1/sqrt(a))*y) + 4 y

y^2 * ((16/a)+1) = (8/sqrt(a))*y+ 4 y

y^2 * ((16/a)+1) = ((8/sqrt(a))+ 4)*y

y^2 * ((16/a)+1) - ((8/sqrt(a))+ 4)*y = 0

y (y * ((16/a)+1) - ((8/sqrt(a))+ 4)) = 0

т. е y=0

следует заметить что при y=0

система имеет ровно два решения

(0,0) и (8,0) [в этом случае важно что а! =0]

второе

y * ((16/a)+1) - ((8/sqrt(a))+ 4) = 0

y = ((8/sqrt(a))+ 4) / ((16/a)+1)

это выражение не имеет смысла при a=-16 и a=0

пусть ((8/sqrt(a))+ 4) / ((16/a)+1) = t

x^2 + t^2 = 8x +4*t
x^2 -8x +t^2-t = 0

D = 8^2 - 4*(t^2-t) = 64 - 4*(t^2-t) = 4* ( 16 - (t^2-t))

т. е t^2-t < 16

t(t-1) <16

то есть при

(1-sqrt(65))/2<t<(1+sqrt(65))/2

вернёмся к а

стоит обратить внимание что в этот промежуток входит 0

(1-sqrt(65))/2<((8/sqrt(a))+ 4) / ((16/a)+1) <(1+sqrt(65))/2

дальше разбить на два неравенства и решить по отдельности

не забыть про 0

Решаем сначала как обычную, без параметра, систему. Она равносильна другой системе:
{16-ax²>0,
{ax²=y²,
{x²+y²-8x-4y=0
1) Из второго уравнения сразу следует, что, если а<0, то это уравнение имеет единственное, решение х=у=0, поэтому для этого множества "а" и вся система имеет не более одного решения.
2) Если а=0, то система имеет ровно 2 решения (х, у) ={(0,0),(8,0)}
3) Пусть а>0
3.1) Решение неравенства №1:
-4/√a<x< 4/√a
3.2) Из второго уравнения следует: √a x= y либо -√a x=y
Таким образом, система распадается на совокупность двух систем (1)U(2):
Система (1):
{-4/√a<x< 4/√a,
{√a x= y,
{x²+y²-8x-4y=0
и система (2):
{-4/√a<x< 4/√a,
{-√a x= y,
{x²+y²-8x-4y=0
3.3) Решаем систему (1). Подставляем "у" из второго уравнения в третье:
(a+1)x²-4(2+√a )x=0
x((a+1)x-4(2+√a ))=0
x₁ =0, x₂=4(2+√a )/(a+1)
Выясним, попадают ли эти корни в промежуток, определенный первым неравенством системы:
x₁ =0 очевидно попадает при всех а>0
Также при всех а>0 x₂=4·(2+√a )/(a+1)>0>-4/√a
Решим неравенство: 4(2+√a )/(a+1)<4/√a
4(2+√a )/(a+1)-(4/√a)=4·(2√a+a-a-1)/(√a·(a+1))<0
(2√a-1)/(√a·(a+1))<0
√a<1/2, a<1/4
Итак, при 0<а<1/4 система (1) имеет 2 решения:
(х, у) ={(0,0),(4(2+√a )/(a+1),√a·4(2+√a )/(a+1))}
а при а≥1/4 одно: x=y=0
3.4) Решаем систему (2), по аналогии с предыдущим пунктом:
(a+1)x²-4(2-√a )x=0
x((a+1)x-4(2-√a ))=0
x₁ =0, x₂=4(2-√a )/(a+1)
Так же, как и в предыдущем подпункте, выясняем, попадают ли эти корни в промежуток, определенный первым неравенством системы:
x₁ =0 очевидно попадает при всех а>0
-4/√a<x₂=4·(2-√a )/(a+1)<4/√a
4·(2-√a )/(a+1)+4/√a=4·(2√a+1)/(√a·(a+1))>0 при всех а>0
4(2-√a )/(a+1)-4/√a=4·(2√a-2a-1)/(√a·(a+1))<0
2√a-2a-1<-1/2 <0 ∀a∈R
Система (2) при а>0 всегда имеет 2 решения:
(х, у) ={(0,0),(4·(2-√a )/(a+1),√a·4·(2-√a )/(a+1)}, но при а=4 эти решения совпадают
3.5) Сопоставляя результаты, полученные в подпунктах 3.3) и 3.4) приходим к выводам что :
3.5.1) Ненулевые решения, систем (1) и (2) никогда не совпадают, действительно:
4·(2-√a )/(a+1)=4·(2+√a )/(a+1) ⇒ а=0, но мы рассматриваем подмножество а>0
3.5.2) При 0<а</4 изначальная система, она же совокупность (1)U(2) имеет 3 решения
3.5.3) При а=1/4 ровно 2 решения
3.5.4) При а>1/4 ровно 2 решения, за исключением точки x=4 так как в этой точке решение (4·(2-√a )/(a+1),√a·4·(2-√a )/(a+1)) системы (2) равно (0,0) и следовательно, изначальная система имеет при а=4 единственное решение.
Ответ:
Система имеет ровно 2 решения при a∈{0U[1/4,4)U(4,+∞)}
А вообще всё это проще решать графически:
отобразив множество точек (х, а) удовлетворяющих системам (1) и (2) и положив вместо у=а (т. е отображая параметр по оси ОУ) по графикам определяем. когда параллельная оси ОХ прямая (соответствует определенному значению параметра) пересекает в затушеванной области кривые синего или красного цвета ровно в двух точках, см. скрин: