Помогите решить параметр

a=-1

Имхо, если не ошибаюсь, а ∈ [-3 ; 5].
Проще всего решить графически: уединить корень (график - единичная полуокружность) и прямая у = а/4 - 3х/4 и погонять в зависимости от "а" эту прямую. Крайнее значение -3 получается, когда прямая пройдет через точку (-1;0). А крайнее значение 5 получается в результате касания прямой и окружности.

4√(1 - х²) = - 3х + а
ЛЕВАЯ ЧАСТЬ:
графиком является полуэллипс в положительной части оси ординат при |х|<=1
ПРАВАЯ ЧАСТЬ:
графиком является прямая с углом наклона к оси абсцисс arctg(-3)
1) х = - 1
а = 3х + 4√(1-х²) = 3(-1) + 4√(1-1) = - 3 + 0 = - 3
2) х = х0
У '(х0) = - 3
У' = - 4х / √(1 - х²) = - 3
4х = 3√(1 - х²)
16х² = 9 - 9х²....х >= 0
25х² = 9
Х = 3/5
а = 3х + 4√(1-х²) = 3(3/5) + 4√(1-(3/5)²) =
= 9/5 + 4√(16/25) = 9/5 + 16/5 = 25/5 = 5
ОТВЕТ: а € [ - 3 ; 5 ]

Обычно я всегда задачи с параметром графически решаю, за что меня, бывает, критикуют. А тут что то все решили графически. Ну окей, сделаем не графически.
Прежде всего поймем, а что, собственно, мы ищем? Ну у вас если "a" принадлежит множеству значений функции f=3x+4√(1-x²), -1≤x≤1, то у уравнения обязательно будет хоть одно решение, если не принадлежит -не будет ни одного. Вот вам и надо найти это множество.
Если методы анализа изучали - сделайте с их помощью, если не изучали, то оценить сверху функциональное выражение можно так :
Представим, что у вас есть 2 вектора на плоскости А (3,4) и B(x,√(1-x²))
Тогда f(x) = (A,B) (скалярное произведение), которое равно также |A| ·|B|·cos φ , где φ - угол между этими векторами.
|A| ·|B|=√(3²+4²) ·√(x²+1-x²)=5 и от x, как видим не зависит. Когда оно максимально? Очевидно, когда cos φ =1 или φ =0, т. е векторы сонаправлены, т. е. для их координат справедлива пропорция √(1-x²)/4=x/3 Решаем это уравнение, получаем для отрезка [-1,1] x=3/5
Находим f(3/5)=9/5+16/5=5 нашли одновременно и сам максимум max f(x) и соответствующее значение x=3/5 (на отрезке x∈ [-1,1]
Для нахождения минимума сделаем две вещи:
1) Прежде всего заметим, что для каждого x<0 на рассматриваемом отрезке существует симметрично расположенный относительно 0 элемент |x|,при этом f(|x|)=3|x|+4√(1-x²)>4√(1-x²)-3|x|=f(x) Поэтому, если наименьшее значение и существует (оно существует, но на этом уровне мы об этом не знаем)), то оно соответствует какому то "x" на отрицательной части отрезка [-1,1]
2) Покажем, что при отрицательных "x" наша функция строго возрастающая. Это можно сделать и без вычисления производной, просто находя разность f(x₁)-f(x₂) при x₁>x₂
Ну это сами сделайте.
Ну а раз она возрастающая, то минимум будет в самой минимальной точке отрезка [-1,1], т. е в точке х=-1, f(-1)=-3
Вот и получили границы для "a": a∈[-3,5]
Но и это еще не всё, необходимо удостовериться, что для любого "a " из найденного промежутка уравнение разрешимо относительно "х" из отрезка [-1,1], только тогда мы сможем утверждать, что множество a∈[-3,5] содержит все искомые "a". Вообще это следует из теоремы Больцано- Коши, но мы ведь ее не знаем. Проделайте это сами, подсказка: решите уравнение как обычное, квадратное, которое получится переносом 3х в правую часть и возведением в квадрат. У него всегда есть x=(3a-4√D)/25, где D=1600-64a² принадлежащий отрезку х∈[-1,1] при a∈[-3,5]