Если радиан отрицательный, то и знак тригонометрической функции тоже становится отрицательным или нет?

Знаки тангенса (как и котангенса ) чередуются по четвертям: в 1 + ; во 2 - ; в 3 +; в 4 - .
Если угол в радианах (или градусах) отрицательный это вовсе не говорит о знаке тангенса: минус говорит лишь о том, что поворот осуществляется по часовой стрелке. Знак будет зависеть от того в какую четверть ты попадёшь: каждая четверть это 90 градусов или π/2 радиан

Для каждой тригонометрической функции свой знак в каждой из координатных четвертей.
Пример:
-4 рад ≈ - 229°
II коор. чет.
tg, ctg, cos < 0
sin > 0
_____________________________
Главное запомнить sin и cos
tg=sin/cos, ctg=cos/sin
А ещё лучше разобраться и понять, что такое единичная окружность, как с ней связаны эти функции, как определяются значения углов, значения самих функций
Посмотрите онлайн уроки - наглядно будет понятней

Не, стоп.
Правильно говоришь в принципе.
Смртреть нужно - в какой четверти угол.
Но направление отсчета угла - вещь принципиальная.
Если -4 радиана - ты отсчитываешь от нуля по часовой стрелке, и приходишь во вторую четверть.
-4 радиана = -229° если считать по часовой.
Тангенс - это отношение катетов.
В 2 четверти один катет отрицательный, второй положительный, значит отношение отрицательно.

Для положительного угла 4 рад отсчет против часовой, и приходим в 3 четверть
tg(4) положительный
tg(-4) отрицательный