Домашние задания: Математика

Если производная это тангенс, то почему производная синуса - косинус?

Если нечто меняется по синусоиде, и в каждой точке находить тангенс наклона касательной, то получим косинусоиду. Как так? Тангенс = sin/cos. Но производная синуса есть косинус, т.е. sin` = cos. Тогда tg=sin/sin` . Но tg и есть САМА производная....
Александр Лисунов
Александр Лисунов
1 227
Почему Вы решили, что в самой функции f(x) = sinx и в тангенсе наклона касательной tgx = sinx/cosx один и тот же угол? на самом деле тангенс наклона касательной выглядит несколько сложенее: tgx = sin(g(x))/cos(g(x)), где g(x) - некая функция. Это можно очень просто понять: тангенс не ограничен: он может принимать любые значения, в том числе бесконечность (соответствует вертикальной прямой). Попробуйте построить вертикальную касательную к графику синусоиды - у вас ничего не получиться: угол наклона лежит в пределах от -45 до 45 градусов. Поэтому используя в тангенсе наклона значение исходной функции, вы осуществляется неравносильное преобразование.

Чему равно g(x)? Из выражения tgx = sin(g(x))/cos(g(x)) очевидно, что это угол наклона касательной. Далее приведу наверное известные вам доказательства.

Касательную можно рассматривать как прямую, проходящую через 2 бесконечно близкие точки на кривой. У этих точек есть координаты (x0;y0) и (x0 + Δx, y0 + Δy). Δx очень мало (фактически 0), а Δy таково, что y(x0 + Δx) = y0 + Δy. Проведя через эти точки прямые, параллельные осям координат получим прямоугольный треугольник с катетами Δx Δy. Его гипотенуза является отрезком на касательной, поэтому угол наклона касательной совпадает с углом между гипотенузой и катетом Δx. Элементарно можем найти тангенс этого угла tgx = Δy/Δx.
С другой стороны это выражение можно представить как Δy/Δx = (y(x0 + Δx)-y(x0))/Δx. Поскольку Δx очень мал, фактически получаем определение производной.

Осталось найти выражение для производной. По определению имеем:
(sin(x0 + Δx) - sin(Δx))/Δx =
Из разности синусов имеем:
2/Δx sin(Δx/2) cos(x0 + Δx/2)
Поскольку Δx/2 много больше x0, первым можно принебречь:
2/Δx sin(Δx/2) cos(x0)
Думаю вам известно, так называемое параксиальное приближение - синус угла приближённо равен самому углу (доказать это просто я к сожалению не могу). Если угол бесконечно мал, то можно считать, что синус равен самому углу. Поэтому:
2/Δx sin(Δx/2) cos(x0) = 2/Δx Δx/2 cos(x0) = cos(x0). Более строгое доказательство можно найти в любом не школьном учебнике математического анализа (в школе как правило пределы не проходят, а ведь без них понять что такое производная не представляется возможным).

Исходя из вышесказанного, получаем, что тангенс наклона касательной в точке равен косинусу: tg(g(x)) = cos(x), следовательно, g(x) = arctg(cos(x)) - функция лежащая в пределах ±π/4. Видите, g(x) это не x. Поэтому в вашем представлении "Тангенс = sin/cos." не стоит синус исходной переменной x - там более сложная зависимость.
Леруня Сиротюк
Леруня Сиротюк
19 304
Лучший ответ
Александр Лисунов спасибо за развернутый ответ.
Пусть:
1) sin =! cos, т.е. синус не есть косинус
2) y(j)=sin(x); y(k)=cos(x)
3) x=x
4) y(j)= y1
5) y(k)=y2
6) y1><=y2, т.е. y1 не есть y2, хотя могут принимать одно и то же значение.
Тогда, y1/y2 =! f`(x), т.е. отношение двух разных функций, даже с одинаковым аргументом, не есть производная.
Т.к. нас интересует производная y(l)=f`(sin(x)), то:
y1 = sin(x1)
y2 = sin(x2)
dy=y2-y1
dx=x2-x1
y(l)=dy/dx - есть производная, в данном случае равная y(k)=cos(x)
Странно, почему отношение значений 2-ух функций мне показалось производной?
Производная - есть отношение изменений значения и аргумента внутри одной функции.
Александр Лисунов Видимо сработала школьная ассоциация, где у нас почему то отождествляли что по оси x лежит cos, а по оси y - sin. Но ведь тогда и выходит, что решая dx/dy ты имеешь дело с их синонимами cos и sin. Скажите же, зачем так изображают классический школьный рисунок, с единичной окружностью и этими cos и sin вместо осей? Не следовало ли cos и sin изображать на разных чертежах как самостоятельные функции. И тангенс изображать отдельным графиком, как отношение значений разных функций при одинаковом аргументе? Ни синус от косинуса, ни косинус от синуса не зависят (как можно подумать из упомянутого рисунка). А вот тангенс зависит от обоих.
Александр Лисунов " Её можно получить с помощью поворота системы координат."
Ну в том то и дела, что сия единичная окружность по сути график двух входных переменных (аргументов), без выходного значения, т.е. тангенса. Суть явления (с Вашей помощью) я добавил в график. Если есть правило по x рисовать входную величину, а по y - выходную, то так и следует поступать. А не менять правила на ходу, дескать догадайся. В свое время меня возмущало, почему оборот на 360 ° по окружности, длина которой Пи, превращается в 2 Пи. Дуга, которая "по плоти" замкнута на 360°, удлинется дважды, если отображает не длину линии, а угол. Хотя это одно и то же! Если принять Пи/4= 90° что то поменяется?
"смесь полярных и декартовых координат" - то же не лучший вариант. Мух и котлеты желательно подавать отдельно.
Александр Лисунов "Синус и косинус зависят друг от друга:"
Тут бесспорно. Треугольник самая жесткая фигура, без всяких ребер и т.д. потому как все составляющие жестко связаны меж собой. Потому sin и cos взаимозавязаны. Но тангенс формально есть лишь дробь двух величин, и как они взаимоувязаны, с его точки зрения, неважно. Потому я и высказался, что тангенс есть функция двух переменных-функций с общим аргументом.
Александр Лисунов Так вот именно. Если мерить к радиусу, то Пи = 6,28
Александр Лисунов Так вот, оказывается длина окружности = Пи. Тогда и если пройти по этой окружности целиком, мы обернемся на 360°, что соответсвует 1 Пи. Откуда 2Пи? То мы мерим к диаметру, то к радиусу. Будто радиус есть диаметр. Можно мерить и к четвертушке и к восьмушке. И считать 360° хоть 4 Пи, хоть 8, хоть 888.... Зачем? Коль дуга замкнутая равна Пи, то и обернувшись по ней целеком 1 раз, обернулся ты на 1 Пи диаметриан.
Леруня Сиротюк "единичная окружность по сути график двух входных переменных (аргументов), без выходного значения, т.е. тангенса." Почему вы решили, что выходное значение этом случае является тангесом? Это не график функции - это кривая. Основными способы задания кривой:
1.С помощью функции - тут всё понятно x однозначно ставиться y. Однако в однозначности есть проблема, поэтому есть ещё два способа.
2. С помощью уравнения. Например для окружности x^2 + y^2 = R^2. Тут тоже всё понятно.
3. Параметрическое x и y связаны через переменный параметр. Например, окружность
x = cos(t)
y=sin(t)
Однако в этом случае входным параметром является t - оно нигде не отображается, поскольку представляет интерес не его значение, а сочетания x и y. Как видите, нет такого правила, что бы входное значение было на оси.
Леруня Сиротюк Смещение полярки и декарты - норма. Вы скорее всего не знакомы с комплексными числами: среди них такое сплошь и рядом: на одном чертеже могут вводиться множество локальных полярных систем координат. Обусловленное это тем, что комплексное число можно задать как сумму двух чисел a+jb, так и с помощью модуля и фазы (длины вектора и угла его поворота).
Александр Лисунов 2R=1D, несомненно!
Lокр = 3,14 D = Пи D
Это изначальное выражение! Можно пользоваться и полу-радиусами пR, и четвертьрадиусами чR...
Тогда Lокр = 4 пR = 8 чR....
Зачем? Чем радиус информативнее диаметра, что ввели новую сущность? 1 Пи - диаметриан. И соблюдаем бритву Оккама
Александр Лисунов "t - оно нигде не отображается, поскольку представляет интерес не его значение, а сочетания x и y. "
"его можно определить с помощью геометрии, однако это работает только для углов, меньших 90 градусов. Как его в этом случае определить для 999 градусов? "
Прежде, чем изучить тригонометрию, я в 12 лет взял в руки паяльник и осцилограф. Потому воспринимать гармонические колебания мне чисто психологически было проще, я знал что ротор генератора вращаться может сколько угодно раз по 360° снова и снова. Но что важно (для меня), что процесс протекает во времени.
Вобщем, в определениях формально не объявляются правила описания, а принцип - догадайся по контексту, что мы имели ввиду.
С полярными числами работал, без этого невозможно рассчитать реактивную нагрузку в сети переменного тока.
Александр Лисунов И хоть смейтесь, но вопрос семантики!!!
"2пиR"
Пи должно брать 1 раз. А R -2 раза. Иначе кажется, будто Пи мы увеличиваем до 6,28.
Значит должно записать 1 Пи * 2 R.
Хотя, 2 R = 1 D.
Потому 1 Пи * 1 D = длина окружности.
Коль Вы знаток комплексной алгебры, то знаете, что в высших порядках комплексности (2, 3, 4, 8, 16....), уже перестают действовать законы коммутативности, дистрибутивности... Потому хоть результат в нашей не-комплексной алгебре и один, но смысл выражений уже меняется.
Александр Лисунов "с диаметрианом сталкиваюсь впервые"
Неужели я первым его придумал?)))
Александр Лисунов "константа тау".
А вот это я услышал впервые от Вас. Вот, нагуглил
«Все эти годы, когда мы использовали пи, то использовали неверное число», – сказал Кевин Хьюстон, с математического факультета Лидского университета. – Просто Пи не самое подходящее число для проведения математических операций с кругом. Для этих целей корректней использовать 2пи или тау».
Значит, ни один я такой, я чисто интуитивно почуял, что - то неладное с Пи )))

Похожие вопросы