Докажите простым языком, почему производная противоположна интегрированию?

Производная это скорость изменения функции в каждой точке. Представте, что аргумент изменился ничтожно мало, то и значение функции изменилось очень мало(опять же, с некоторыми оговорками). Функция, кторая в каждой точке показывает эту скорость равна этому ничтожно малому изменению функции в даннлй точке. Интегрируя, мы ищем исходную функцию, зная, как меняется её значение в каждой точке и всё. Определенный интеграл действительно равен площади криволинейной трапеции. Но в случае с определённым интегралом, мы ищем приращение искомой функции на конечном промежутке, зная ее скорость на в каждой точке. Для этого разбиваем этот участок на очень большое число отрезков, каждый из которых очень мал и умножаем скорость изменения функции на длину отрезка, а затем суммируем. Скорость(производная) может быть и отрицательная, в таком случае функция убывает.

не интеграл, а интегрирование
не производная, а дифференцирование
эти две операции "противоположны", а не какие-то там "площади" и "изменения на точке"

противоположность в том что если продифференцировать интеграл, то получишь аккурат подынтегральное выражение. т.е. прогнал туда и обратно и вернулся к тому с чего и начал...

∫f(x)dx=F(x)+C
(F(x)+C)'=f(x)

интеграл не противоположен производной. Можно с некими оговорками сказать, что производной противоположна первообразная:

противоположны функции тогда, когда после последовательного применения этих функций к произвольной функции, последняя не изменится.

f(x) - произвольная функция, удовлетворяющая условиям дифференцирования.
ищем первообразную: F(x) + C
берем производную: (F(x) + C)' = f(x)

Видим, что функция не изменилась