Применение производной при решении задач

Подготовка к уроку. Приветствие. Формирование групп по номерам 1, 2, 3,4. Распределение ролей в группах. Тема записана на доске

2. Фаза вызова

Работа в группах: определение целей и задач урока. Каждая группа высказывает свое мнение.

Найти ошибку. Проверка теоретического материала. Отвечать должны только да или нет. + – верно, _ – неверно, есть ошибка. Работа индивидуальная.
1. Функция возрастает на [-7; 2) и (2; 8], значит, она возрастает на

2. Производная функции в точке а равна 0, значит а - критическая точка. Верно ли?
3. Производная функции не существует в точке а, значит а - критическая точка. Верно ли?
4. Критическая точка является точкой экстремума. Верно ли?
5. Точка экстремума является критической точкой. Верно ли?
Проверка; нет, да; да; нет; да

Проверка, 5 правильных ответов оценка «5», 4-«4», 3-«3», 2-0 оценка «2». Взаимопроверка.

Мозговой штурм «Где применяют производную для решения задач в различных областей науки?».

Взаимооценка (группы параллельно оценивают друг друга, используя сигнальные карточки).

2. Задание математикам.

1) Подготовьте краткое выступление о сути открытия производной.

2) Объясните следующее высказывание Ньютона: «Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад».

3) Ответьте на вопрос:

какие задачи называются задачами на оптимизацию или экстремальными?

4) Решите задачи.

А. Командиру межгалактического космического корабля, движущемуся по закону Х (t) = 1 + 6t + 3t2- t3 сообщили о том, что приборы зафиксировали неопознанный летающий объект, стремительно приближающийся к кораблю. Чтобы избежать столкновения, необходимо максимально увеличить скорость. Каким должно быть ускорение корабля в момент, когда скорость станет максимальной?

Б. Сопротивление f (V) дороги движению автомобиля при скорости движения автомобиля Vкм/ч выражается следующими формулами:

а) На асфальте: f(V) =14,5 + О, 25V.

б) На шоссейной дороге:

f(V) = 24— 2/3V+ 1/16V2.

в) На мягкой грунтовой дороге:

f(V)= 36,5— 3/4V+ 1/3ОV2. Определите скорость, при которой сопротивление будет наименьшим.

Открытие Ньютоном производной стало переворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных неравномерно протекающих процессов, исследуемых физикой, химией, биологией аналогична связи между путем и скоростью.

Покажите, как различные физические понятия получают единую трактовку c точки зрения производной.

Для получения ответа на главный вопрос, можете выполнить следующие заданиями.

1) При равномерном движении тела по окружности угловой скоростью тела называется угол поворота в единицу времени. Дайте определение угловой скорости для неравномерного движения. (Запишите формулу, используя производную.)

2) При равномерном протекании заряда по проводнику силой тока называется заряд, протекающий за единицу времени. Сформулируйте определение силы тока при неравномерном протекании заряда. (Запишите формулу, используя производную.)

При подготовке к ответу можете использовать справочник по физике: О. Ф. Кабардина и энциклопедический словарь юного физика.

1. Сила тока I изменяется в зависимости от времени t по закону I = 2t— 5t (I— в амперах, t — в секундах.) Найти скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.
2. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону S= 3t2 + t +4. Найти кинетическую энергию тела чрез 4 сек. после начала движения.

3.Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону: х (t) = t3— 3t2 +2, где х (t) измеряется в метрах, время t— в сек. Найти силу, действующую на тело в момент времени t = З сек.

4. Закон движения частицы:
х (t) = t3 — 3t, где х (t) измеряется в метрах, время t в секундах. Каково ускорение частицы в момент времени, когда скорость ее равна 11 м/с?