Помогите с решением задачи по вычислению вероятности события:

Для решения задачи воспользуемся биномиальным распределением. Обозначим за $X$ число синих мячей в выборке из 30 мячей. Тогда $X$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n=30$ и $p=\frac{40}{140}=\frac{2}{7}$ (вероятность вытащить синий мяч равна отношению числа синих мячей к общему числу мячей).

Теперь нам нужно найти вероятность того, что $X>15$, то есть в выборке будет больше половины синих мячей. Мы можем вычислить это значение как сумму вероятностей $P(X=k)$ для всех $k$ от 16 до 30:

$$P(X>15) = \sum_{k=16}^{30} P(X=k) = \sum_{k=16}^{30} {30 \choose k} \left(\frac{2}{7}\right)^k \left(\frac{5}{7}\right)^{30-k}$$

Это вычисление может быть довольно трудоемким вручную, но можно воспользоваться калькулятором.
Результатом будет вероятность $P(X>15) \approx 0.054$. Таким образом, вероятность того, что при извлечении мячей из коробки синих мячей окажется больше, составляет около 5.4%.

Можно оценить, считая что распределение синих мячей подчиняется нормальному закону. На самом деле, цифры на границах этого распределения будут отличаться в большую сторону, так как чем меньше шаров, тем более вероятными становятся неравновесные комбинации.

Среднее значение синих шаров среди 30 будет равно 30*(40/140) ≈ 8.57
Больше половины - это больше 15.
15 - 8.57 = 6.43
Дисперсию можно приблизительно оценить как
D = 30*(40/140)(100/140) ≈ 6.122
√D ≈ 2.47
6.43/2.47 ≈ 2.6
По таблице определяем вероятность значений, отклоняющихся от средней больше, чем на 2.6 сигмы в одну сторону.
0.00466
Или меньше 0.5%