Как выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена? Я вообще не догоняю как, объясните простым языком 9 класс

Кв. трехчлен: a^2+ab+b^2
a^2+ab+b^2+ab-ab=a^2+2ab+b^2-ab=[(a+b)^2]-ab.

Выделение квадрата двучлена в алгебре применяют в ходе преобразования многочленов.

Как выделить полный квадрат суммы или разности?

Начнём со случая, когда коэффициент при x² равен 1.

Полный квадрат суммы или разности состоит из трёх слагаемых, два из которых — квадраты:

\[{a^2} \pm 2ab + {b^2} = {(a \pm b)^2}\]

Если нужны выделить полный квадрат из выражения типа

\[{x^2} \pm px + q,\]

то

\[a = x,px = 2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2}\]

Отсюда следует, что b=p/2. Третье слагаемое, b², должно равняться (p/2)². Прибавим его и отнимем, чтобы не изменить выражение.

В общем виде выделение квадрата можно записать так:

\[{x^2} \pm px + q = \]

\[ = {x^2} \pm 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2} + c = \]

Первые три слагаемых можно свернуть как полный квадрат суммы (или разности, зависит от знака перед удвоенным произведением):

\[ = ({x^2} \pm 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2}) - {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2} + c = \]

\[ = {(x \pm \frac{p}{2})^2} - {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2} + c.\]

Примеры выделения полного квадрата.

\[1){x^2} - 6x + 23 = \]

Здесь a=x, 2ab=6x, следовательно, b=3. Прибавим к x²+2∙x∙3 квадрат тройки и тут же его вычтем, чтобы не данное выражение не изменилось:

\[ = ({x^2} - 2 \cdot x \cdot 3 + {3^2}) - {3^2} + 23 = \]

В скобках получили полный квадрат разности. Его свернём по формуле. За скобками — -3²+23, упрощаем и получаем:

\[ = {(x - 3)^2} + 32.\]

\[2){x^2} + 12x - 5 = \]

\[ = ({x^2} + 2 \cdot x \cdot 6 + {6^2}) - {6^2} - 5 = \]

\[ = {(x + 6)^2} - 41.\]

\[3){x^2} - 5x + 2 = \]

\[ = ({x^2} - 2 \cdot x \cdot 2,5 + {2,5^2}) - {2,5^2} + 2 = \]

\[ = {(x - 2,5)^2} - 6,25 + 2 = {(x - 2,5)^2} - 4,5.\]

Шаг второй.

А как выделить полный квадрат, если перед x² стоит коэффициент, отличный от 1? В этом случае надо вынести этот коэффициент за скобки, а дальше — аналогично.

Такую гадость, как квадратный трёхЧЛЕН, я даже представить немогу!!