Можно ли из матрицы извлечь корень ?

Да, по крайней мере если Матрица приводится к диагональному виду и все ее собственные значения неотрицательны. Тогда если А = H B H^-1, где В диагональна, то √A = H √B H^-1, где √B диагональная Матрица с собственными значениями, равными квадратным корням из соб.зн. В. (Причем, любого знака, поэтому для определенности берутся положительные)

нет такой "формулы"... как и нет практического применения такой для такой операции...
многие тут пишут просто копируя со всяких "источников"...
да и вы сами, где-то что-то читали и решили здесь "дискуссию" склеить... не так ли?

В сущности можно, но не всегда. Например, X = √A по существу означает решить уравнение Х^2 = А. Оно, вполне, может иметь решения и, даже, не одно. Например, уравнение X^2 = E (Е - единичная матрица) имеет бесконечно много решений.

Нет, только из конкретных чисел

Ну, квадратный корень из матрицы поворота не пуст, хочешь научиться извлекать многозначный корень из таких простеньких матриц - не бойся пробовать диагонализировать их над C.
Иначе просто ты затрахаешься разбираться со всякми разными нормальными формами матриц (помимо жордановой).

Матрица {B} называется квадратным корнем из матрицы {A} , если квадрат {B}, то есть матричное произведение {BB} , совпадает с матрицей {A} .
Не для всех матриц квадратный корень существует. В тех случаях, когда корень существует, он не всегда определён однозначно.