Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,у0,z0)

Для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности S в точке M0 (x0, y0, z0) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислить частные производные функции S по x, y и z.
2. Найти значения частных производных в точке M0.
3. Найти вектор нормали к поверхности S в точке M0.
4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности S в точке M0.
5. Вычислим частные производные функции S:

dS/dx = 2x - y
dS/dy = 2y - x
dS/dz = 3

Найдем значения частных производных в точке M0:

dS/dx(M0) = 2(1) - 2 = 0
dS/dy(M0) = 2(2) - 1 = 3
dS/dz(M0) = 3

Вектор нормали к поверхности S в точке M0 равен (dS/dx(M0), dS/dy(M0), dS/dz(M0)) = (0, 3, 3).

Теперь напишем уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и имеющей нормальный вектор (0, 3, 3):

0(x - 1) + 3(y - 2) + 3(z - 1) = 0

Упростим это уравнение:

3y + 3z - 9 = 0

Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности S в точке M0 (1, 2, 1) имеет вид:

3y + 3z - 9 = 0

Уравнение нормали к поверхности S в точке M0 (1, 2, 1) имеет вид:

0(x - 1) + 3(y - 2) + 3(z - 1) = 0

Или, что то же самое,

y - z + 1 = 0