Математика теория вероятностей

1. Всего есть 4 способа выбрать два числа с суммой 9: (4,5), (5,4), (3,6) и (6,3). Только в одном из этих случаев во второй раз выпало 5. Значит вероятность равна 1/4.

2. Вероятность поразить ровно две мишени равна C(7,2)*(5/9)^2*(4/9)^5. Вероятность поразить ровно четыре мишени равна C(7,4)*(5/9)^4*(4/9)^3. Отношение этих вероятностей равно (C(7,2)*(5/9)^2*(4/9)^5)/(C(7,4)*(5/9)^4*(4/9)^3) = 35/84.

3. Всего есть 20 способов выбрать два числа с суммой не меньше 8: (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (3,6), (6,3), (4,4), (4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5) и (6,6). Из них в 10 случаях при первом броске выпало больше 3 очков. Значит вероятность равна 10/20 = 1/2.

4. Всего есть 4 способа выбрать два числа с суммой 5: (1,4), (4,1), (2,3) и (3,2). Только в двух из этих случаев ни разу не выпало 4. Значит вероятность равна 2/4 = 1/2.

5. Всего есть 15 способов выбрать два числа таким образом чтобы первое было меньше чем 4: (1,x) x=1..6; (2,x) x=1..6; и (3,x) x=1..6. Из них в 12 случаях сумма будет не меньше чем 4. Значит вероятность равна 12/15 = 4/5.

6. Сумма всех выпавших очков может быть равна 11 только если было сделано три броска и выпали числа 3-3-5 или если было сделано четыре броска и выпали числа 2-2-3-4. Значит вероятность того что потребовалось сделать три броска равна 1/(1+1) = 1/2.

7. Вероятность того что команда А выиграет следующий раунд равна вероятности того что ее соперник будет слабее ее. Так как команда А уже выиграла у всех остальных команд кроме одной то вероятность того что оставшаяся команда слабее ее равна 1/(23-16) = 1/7.

8. Пусть A - событие 'К вечеру в первом автомате закончится кофе', B - событие 'К вечеру во втором автомате закончится кофе'. Тогда P(A)=P(B)=0.31 и P(A∩B)=0.21. Нам нужно найти P((A∪B)'). Используя формулу P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) получаем P(A∪B)=0.31+0.31-0.21=0.41. Тогда P((A∪B)')=1-P(A

1)
1/4

2)
Р(2) = (7!/5!2!)(4/9)¹⁰(5²/9² + 2*4*5²/9³ + 4²5²/9⁴)
Р(4) = (7!/4!3!)(4/9)⁶(5⁴/9⁴ + 4*4*5⁴/9⁵ + 6*4²*5⁴/9⁶ + 4*4³5⁴/9⁷ + 4⁴5⁴/9⁸)
Р(4)/Р(2) ≈ 27.51

3)

1. 1 (2,6)
2. 2 (3,5),(3,6)
3. 3
4. 4
5. 5

(3+4+5)/(1+2+3+4+5) = 12/15 = 0.8

4)
1/2

5)
(3 + 4 + 5)/(3*6) = 12/18 = 2/3

6)
Р(1) = 0/6
Р(2) = 2/6²
Р(3) = 27/6³
Р(4) = 104/6⁴
Р(3)/(Р(1) + Р(2) + Р(3) + Р(4)) =
27*6/(2*36 + 27*6 + 104) =
81/169 = (9/13)² ≈ 0.4793