Решите систему мотодом гауса

Первое задание:
Для решения системы уравнений методом Гаусса, мы должны привести систему к ступенчатому виду и затем решить получившуюся систему обратным ходом. Наша исходная система уравнений:

1) 11x - 6y + z = 17
2) x + y + z = 0
3) 3x - 2y + z = 5

Шаг 1: Приведем систему уравнений к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

Умножим уравнение 2 на 11 и вычтем уравнение 1 из получившегося результата:

11 * (x + y + z) - (11x - 6y + z) = 11 * 0 - 17
11x + 11y + 11z - 11x + 6y - z = -17
0x + 17y + 10z = -17 -> 17y + 10z = -17

Теперь система выглядит следующим образом:

1) 11x - 6y + z = 17
2) 17y + 10z = -17
3) 3x - 2y + z = 5

Умножим уравнение 2 на 3 и вычтем уравнение 3 из получившегося результата:

3 * (17y + 10z) - (3x - 2y + z) = 3 * (-17) - 5
51y + 30z - 3x + 2y - z= -51 - 5
0x + 53y + 29z = -56 -> 53y + 29z = -56

Обновлённая система уравнений:

1) 11x - 6y + z = 17
2) 17y + 10z = -17
3) 53y + 29z = -56

Шаг 2: Найдем переменные обратным ходом.

3) Воспользуемся уравнением 2 и выразим y:

17y + 10z = -17
y = (-17 - 10z) / 17

4) Подставим y из 3) в уравнение 3:

53((-17 - 10z) / 17) + 29z = -56
-53 - 20z + 29z = -56
9z = -3
z = -1/3

Теперь подставим значение z в уравнение, выржающее y:

y = (-17 - 10*(-1/3)) / 17
y = (-17 + 10/3) / 17
y = (-41/3) / 17
y = -41/51
y = -3/3
y = -1

Наконец, подставим значения y и z в уравнение 1:

11x - 6*(-1) + (-1/3) = 17
11x + 6 - 1/3 = 17
11x = 17 - 6 + 1/3
11x = 11 - 5/3
11x = (33 - 5) / 3
11x = 28/3
x = 28/33

Теперь мы нашли значения x, y и z:

x = 28/33
y = -1
z = -1/3

Итак, решение системы уравнений:

x = 28/33
y = -1
z = -1/3

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ:
Метод 1: Решение системы методом замены

1. Решим первое уравнение относительно x: x = 5 - y.

2. Подставим это выражение для x во второе уравнение:

2(5 - y) - 3y = 5

10 - 2y - 3y = 5

-5y = -5

y = 1

3. Найдем x, используя выражение, которое мы получили в первом шаге:

x = 5 - y = 5 - 1 = 4

Ответ: решение системы x = 4, y = 1.

Метод 2: Матричный метод

Систему линейных уравнений можно представить в матричной форме:

|1 1| |x| |5|
|2 -3| * |y| = |5|

A * x = b, где A - матрица коэффициентов, x - вектор переменных, b - вектор свободных членов.

Для нахождения решения системы мы можем найти обратную матрицу A^-1 и умножить ее на вектор свободных членов:

x = A^-1 * b.

Вычислим обратную матрицу A^-1:

|1 1|^-1 | -3 1|
|2 -3| = |-2 1/3|

Теперь умножим обратную матрицу на вектор свободных членов:

| -3 1| |5| |-7|
|-2 1/3| * |5| = |-5/3|

Ответ: решение системы x = -7, y = -5/3.

Оба метода дали разные ответы, поэтому нужно проверить решение, подставив найденные значения x и y в исходную систему уравнений:

x + y = 5 -> 4 + 1 = 5 (верно)

2x - 3y = 5 -> 2(4) - 3(1) = 5 (верно)

Таким образом, правильным решением системы является x = 4, y = 1.

методом Гаусса (можно было проще, немного переставив строки/столбцы, но лень)