Гравитационный потенциал на поверхности Земли
U(R) = – GM/R
Гравитационный потенциал в центре Земли
U(0) = – 1.5GM/R
Откуда
mv²/2 = m(– GM/R + 1.5GM/R)
v² = GM/R
v = √(GM/R)
Первая космическая.
Между прочим, время пролёта туда-обратно 90 минут, как у дядюшки Гагарина
:~)
Естественные науки
Какую всё-таки скорость наберёт тело, падающее к центру Земли? Первую или вторую космическую?
И всё-таки первую космическую, а не вторую. И это легко понять.
Во-первых - есть математика. Потенцилаьная энергия ПОЛНОСТЬЮ переходит в кинетическую, и если расчёт говорит, что должно получиться √gR, - значит, так оно и есть. Можно расслаьиться и получить максимально возможное удовольствие.
Кстати, эта скорость совершенно не зависит от распределения плотности по радиусу. Как для однородной Земли, так и для Земли с изменяющийся, допустим, линейно или как-то ещё плотностью скорость в центра будет одна и та же - это опять же следует из закона сохранения энергии.
Ну и наконец почему не вторая космическая, а именно первая. Потому что при падении из бесконечности на тело ВСЁ ВРЕМЯ действует ВСЯ МАССА Земли. При падении в колодец на тело действует только та масса, которая в данный момент находится ниже него. Так что условия неравные.
В качестве если не подтверждения, то хотя бы иллюстрации можно "сослаться на авторитет" - книжку Я. Перельмана "Занимательная физика", ч. 2. Там указана скорость в 8 км/с, то есть именно первая космическая. Мне ещё не попадались примеры, где Я. И. был бы неправ.. .
Блин.. . Одно неловкое движение - и стакан рома на клавиатуре...
Во-первых - есть математика. Потенцилаьная энергия ПОЛНОСТЬЮ переходит в кинетическую, и если расчёт говорит, что должно получиться √gR, - значит, так оно и есть. Можно расслаьиться и получить максимально возможное удовольствие.
Кстати, эта скорость совершенно не зависит от распределения плотности по радиусу. Как для однородной Земли, так и для Земли с изменяющийся, допустим, линейно или как-то ещё плотностью скорость в центра будет одна и та же - это опять же следует из закона сохранения энергии.
Ну и наконец почему не вторая космическая, а именно первая. Потому что при падении из бесконечности на тело ВСЁ ВРЕМЯ действует ВСЯ МАССА Земли. При падении в колодец на тело действует только та масса, которая в данный момент находится ниже него. Так что условия неравные.
В качестве если не подтверждения, то хотя бы иллюстрации можно "сослаться на авторитет" - книжку Я. Перельмана "Занимательная физика", ч. 2. Там указана скорость в 8 км/с, то есть именно первая космическая. Мне ещё не попадались примеры, где Я. И. был бы неправ.. .
Блин.. . Одно неловкое движение - и стакан рома на клавиатуре...
Елена Горбачева
95 701
Георгий Карасени
Большое спасибо за ответ.
Надо перелистать Перельмана. Про него-то я совсем забыл.
Но пока я не добрался до Якова Исидоровича, продолжим.
Получается нестыковка.
Есть потенциальная энергия тела на поверхности Земли (mgR).
Что на бесконечности, что в центре планеты потенциальная энергия равна нулю.
Разность между энергиями одинакова. Значит, и скорость должна быть одинакова - вторая космическая.
Логично? Не нужны никакие распределения плотности, массы и силы.
Но с другой стороны, если интегрировать по силе, то она (сила) должна зависеть от распределения плотности, хотя бы потому, что зависит от массы, находящейся ниже тела.
И вот тут при однородной модели скорость получается первая космическая.
Я думаю, ошибка как раз в этом распределении.
По закону сохранения энергии, когда всего-то приравнять два выражения надо, получилось одно, а при интегрировании в модели, не соответствующей действительности, получилось другое.
Короче, надо попробовать.
Аккуратней надо с ромом...
Надо перелистать Перельмана. Про него-то я совсем забыл.
Но пока я не добрался до Якова Исидоровича, продолжим.
Получается нестыковка.
Есть потенциальная энергия тела на поверхности Земли (mgR).
Что на бесконечности, что в центре планеты потенциальная энергия равна нулю.
Разность между энергиями одинакова. Значит, и скорость должна быть одинакова - вторая космическая.
Логично? Не нужны никакие распределения плотности, массы и силы.
Но с другой стороны, если интегрировать по силе, то она (сила) должна зависеть от распределения плотности, хотя бы потому, что зависит от массы, находящейся ниже тела.
И вот тут при однородной модели скорость получается первая космическая.
Я думаю, ошибка как раз в этом распределении.
По закону сохранения энергии, когда всего-то приравнять два выражения надо, получилось одно, а при интегрировании в модели, не соответствующей действительности, получилось другое.
Короче, надо попробовать.
Аккуратней надо с ромом...
Георгий Карасени
Не получается первая космическая скорость при интегрировании.
Справедливости ради, надо добавить, что и вторая не получается :)
Выходит около 10 км/с.
Но достаточно того, что не получается первая.
Справедливости ради, надо добавить, что и вторая не получается :)
Выходит около 10 км/с.
Но достаточно того, что не получается первая.
потенциальная энергия на поверхности земли равна mgR, а в центре земли равна 0, следовательно при указанном падении изменение потенциальной энергии будет mgR оно равно изменению кинитической энергии mV^2/2, отсюда V=корень из (2gR). тело приобретет вторую космическую скорость.
Gulsara Serekbaeva
70 161
Георгий Карасени
Слава богу.
А то я уж испугался, что ln R.
А то я уж испугался, что ln R.
Георгий Карасени
Получится ли тот же результат при интегрировании по силе тяжести?
Ирина Рымшина
Ускорение свободного падения всегда направлено к центру. Это значит, что потенциал - монотонная функция. Если в бесконечности она равна нулю, а на поверхности земли - gR, то в центре земли будет ещё больше (по модулю). Конкретное значение в центре земли – 1.5gR (в обоих формулах g - ускорение свободного падения на поверхности земли, R - радиус земли).
Чтобы быть совсем точной, если мы берём за нулевую точку потенциала бесконечность, то во всех других точках потенциал будет отрицательным, так как чем ближе к земле, тем он меньше. То есть на поверхности земли –gR, в центре земли –1.5gR.
Откуда в центре земли по сравнению с поверхностью потенциальная энергия уменьшается на mgR/2, стало быть скорость в центре Земли - первая космическая.
Чтобы быть совсем точной, если мы берём за нулевую точку потенциала бесконечность, то во всех других точках потенциал будет отрицательным, так как чем ближе к земле, тем он меньше. То есть на поверхности земли –gR, в центре земли –1.5gR.
Откуда в центре земли по сравнению с поверхностью потенциальная энергия уменьшается на mgR/2, стало быть скорость в центре Земли - первая космическая.
..да никакую, так ка не сможет туда упасть-никогда...
Мальцев Александр
17 811
Георгий Карасени
Предположим, что упадёт. Какая будет скорость?
Первая космическая здесь вообще не причем,
Вторую космическую будет иметь тело у поверхности Земли, которое падало из бесконечно далекой точки
Если Вас интересует скорость тела падающего в тунеле через центр Земли, то
сила тяжести обратно пропорциональна ПЕРВОЙ степени расстояния от центра, потенциальная энергия пропорциональна логорифму
mV^2 / 2 = GMm * ln(R)
V^2 / 2 = GM * ln(R)
Вторую космическую будет иметь тело у поверхности Земли, которое падало из бесконечно далекой точки
Если Вас интересует скорость тела падающего в тунеле через центр Земли, то
сила тяжести обратно пропорциональна ПЕРВОЙ степени расстояния от центра, потенциальная энергия пропорциональна логорифму
mV^2 / 2 = GMm * ln(R)
V^2 / 2 = GM * ln(R)
Кристиночка ......
17 129
Георгий Карасени
Откуда взялся логарифм?
Георгий Карасени
Мы не можем знать, как задаётся сила тяжести внутри планеты. Поскольку не знаем распределния масс.
Она зависит линейно только в модели Земли с постоянной плотностью.
На самом деле плотность приблизительно линейна.
К тому же в данной задаче сила вообще не нужна.
Необходимо знать только разность потенциалов.
Она зависит линейно только в модели Земли с постоянной плотностью.
На самом деле плотность приблизительно линейна.
К тому же в данной задаче сила вообще не нужна.
Необходимо знать только разность потенциалов.
Ровно вторую, конечно! :) Ведь он при этом увеличит настолько кинетическую энергию при этом, что если бы он обладал ей на поверхности земли, то мог бы улететь в космос!
Даже если посчтать, то получится формула для второй космической скорости - корень квадратный из два же эр Земли.
Даже если посчтать, то получится формула для второй космической скорости - корень квадратный из два же эр Земли.
Георгий Карасени
Как рассчитали?
Точно чуть-чуть меньше, по мере приближения к центру, сила тяжести будет падать. Причем, в отличие от "внешнего" мира, под Землей потенцмальная энергия линейнозависима от расстояния до центра планеты
Георгий Карасени
От силы тяжести это не зависит.
Зависит от разности потенциальной энергии.
В центре она равна нулю. На поверхности mgR.
Зависит от разности потенциальной энергии.
В центре она равна нулю. На поверхности mgR.
Георгий Карасени
Какая скорость-то?
Вторая или первая?
Вторая или первая?
Похожие вопросы
- Почему вторая космическая скорость больше первой?
- Почему, чтобы пройти сквозь оболочку Земли, ракета должна набрать вторую космическую скорость ?
- Почему вторая космическая скорость равна именно 11,2км/c? Почему ракета не может лететь, например, со скоростью 1,5км/с
- Вторая космическая скорость, но что если..
- тело падает (начинает притяжение) на Землю издалека и не имеет начальной скорости.
- почему для чёрной дыры вторая космическая скорость больше первой? точнее первой вообще нету
- Рассчитать время падения тела (в данном случае Земли) при уменьшении орбитальной скорости на Солнце
- вторая космическая скорость
- Почему тела падают на Землю? Куда исчезает пространство между Землей и падающим телом с течением времени?
- Как Галилей опровергнул Аристотеля. Известно, что Аристотель придерживался мнения, что тяжёлые тела падают быстрее...
Откуда, в конце концов, берётся ненулевой потенциал в центре?
Где расчёт?
Про 84 минуты полёта я знаю. А вот про скорость, никак не пойму.