Нормальная такая физика...

Первый интеграл - это чисто формула, там интеграла БРАТЬ (то есть конкретно вычислять интеграл от какой-то функции) не надо. Это просто запись теормеы Остроградского-Гаусса - что интеграл по замкнутой поверхности (вот именно он таким значком обозначается) от индукции, пересакающего эту поверхность, равен суммарному заряду, охватываемому этой поверхностью. При этому по фигу какая именно поверхность (сфера или кубик или ребёнок из пластилина слепил) , по фигу как именно там внутри распределён заряд (в точке или по гауссиане или отдельными пятнами) - важен ИНТЕГРАЛЬНЫЙ результат: что полный поток индукции зависит лишь от полного заряда.
Во второй формуле ПОЧТИ ВСЁ - постоянные множители, не зависящие от r. И их можно спокойно вынести за знак интеграла. И тогда ДЕЙСТВИТЕЛЬНО получится табличный интеграл от dr/r². И тут уж, простите, СТЫДНО не видеть такого.. . Всё ж основные свойства интегралов (например, что постоянные множители можно выносить) знать НАДО.

С производной напряжения тоже всё просто. Напряжение (или потенциал) можно представить как функцию чего-нибудь - например, координаты. Или времени. А раз появляется функция - то никто не может запретить её дифференцировать по тому параметру, от которого она зависит - по координате или по времени или по чему угодно.

Первый интеграл - теорема Гаусса, точно как в матане (с точностью до постоянных множителей) .

Второй - просто табличный: r - переменная, а всё остальное - константы и выходят за интеграл, остаётся проинтегрировать r в степени (-2).

Всё :)

интеграл от квадратичной функции-САМ ПОСМОТРИ В ТАБЛИЦЕ

У напряжения нет касательной: интеграл в первой формуле замкнутый по поверхности, так что это поток вектора напряжённости, видимо электрического поля.

А второй это что - работа по перемещению заряда что ли? Ну и в чём вопрос?

Да по тому же принципу, что и в матане. Ваша проблема в том, что Вы не совсем четко представляете себе суть математического моделирования физических процессов.
Рассмотрим, например, первый интеграл. Проекция напряженности поля на нормаль является функцией координат, а элементарный участок поверхности также является функцией координат, поэтому мы имеем дело с "интегралом функции по функции", а эти интегралы в матане хорошо изучены. То же самое и во втором случае.

А вот то, что вы спрашиваете "где у напряжения проходит касательная", показывает, что Вы не понимаете разницы между величиной и графиком всевозможных значений величины. Напряжение - это разность потенциалов, то есть величина, и ни о какой касательной здесь говорить нельзя (математически эта задача имеет формулировку "дана изолированная (то есть не принадлежащая множеству) точка пространства. Постройте касательную" и является некорректно поставленной) . Вот если Вы будете рассматривать множество разностей потенциалов (то есть возьмете в пространстве несколько пар точек и для каждой из них найдете напряжение) , то тогда Вы сможете построить кривую, характеризующую изменение напряжения в данной области пространства - и вот для этой кривой уже будет определено понятие касательной, а тангенс угла ее наклона будет характеризовать быстроту изменения напряжения в данной области пространства.

Полагаю, что теперь Вам хоть что-то станет понятно. Если возникнут вопросы, то я могу предложить переписываться через Skype (пишите на lamtiugovartem).