Существуют ли числа, которые нельзя определить?

Я думаю, что не существуют. (На примере числа Пи) Просто это не дает сделать несовершенность нашей системы исчисления. Так, я уверен, что если создать для определения числа Пи собственную систему исчисления, в которой отношение длины окружности к ее диаметру станет целым числом, тогда проблема определения отпадет сама собой.

Все вещественные числа, за исключением рациональных чисел, являются трансцендентными. Другими словами, после запятой в дробной части идет последовательность цифр, которая имеет нулевую функцию автокорреляции. Поэтому эта последовательность цифр выглядит как случайная последовательность. У рациональных чисел функция автокорреляции последовательности цифр не обращается в ноль, то есть там есть какие-то закономерные периодические последовательности цифр, которые как-то повторяются по какой-то закономерности.
Вот пример рациональных чисел:
3,33333333333333...
34,561561561561561....
0,00045445444544445444445...
Увидя, какую-то закономерность повторения цифр, можно написать формулу вычисления любого знака. По такой формуле можно вычислить сразу миллионный знак после запятой, не вычисляя промежуточные знаки.
А вот если Вы, например, возьмете шестигранный кубик и будете подкидывать его бесконечно долго, то получите трансцендентное число, типа
3,52166526214352543261345442261421...
Или будете подкидывать монетку, орел или решка
0,10010011001010110010100111001100101100100101010...
Вот все такие числа со случайной последовательностью цифр и будут трансцендентными. Число Пи относится к трансцендентным числам.
И таких чисел БОЛЬШИНСТВО!!!

скоость света

Зависит от того, что Вы подразумеваете под определением числа.

Любое число можно определить
Вопрос лишь в том, через что его можно определить. Трансцендентных чисел даже больше, чем обычных, поскольку мы можем определять их как угодно и через что угодно.