дайте какую нибудь задачу по геометрии повышенной сложности, хочу размять мозги в отпуске!!

простенькая теорема. докажите что an + bn = cn при n > 3

Нет проблем.
Вот простенькая задачка: Дана правильная треугольная пирамида SABC (S - вершина) со стороной основания а, и боковым ребром а*sqrt(2). Сфера проходит через вершину А и касается боковых ребер SB и SC в их серединах. Найти радиус этой сферы.
Или еще: Дан параллелограмм ABCD, у которого АВ=1, ВС=2 и угол АВС - тупой. Через каждую из точек B и D проведено по две прямых, одна из которых перпендикулярна к стороне АВ, а другая - к стороне ВС. В пересечении этих четырех прямых получился параллелограмм, подобный параллелограмму АВСD. Найти площадь параллелограмма АВСD.
Успехов в решении!
Понадобятся ответики для сравнения, пишите.. . Хотя вряд ли понадобятся, потому как вряд ли Вы вообще это решите хоть как-нибудь.... Но мозги хорошенько помнете.. . На весь отпуск хватит. Если найдется, конечно, что мять...

Доказать теорему Наполеона:

Если на каждой стороне произвольного треугольника построить
по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами
в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний

например, вот такая:

вы гуляете по берегу (линия берега - прямая) .
в море стоит красивый корабль, повернутый как попало, вы хотите его сфотографировать, но так, чтобы он занимал на фотографии как можно больше места. (Если вы уйдете очень далеко, на бесконечность - его размер превратится в точку, если попадете в точку, где осевая линия корабля пересекает берег - снова ноль, значит где-то есть точка максимума) . Как найти такую точку?

Чисто геометрически: есть прямая и вне ее отрезок AB, построить такую точку С на прямой, для которой угол ACB максимален по модулю. Естественно - линейкой и циркулем.

Задача распадается на две - понять, что это за точка (сразу скажу - она не расположена на простых линиях типа серединного перпендикуляра к AB), вторая - как ее построить (тоже не слишком просто)

-----------------------------------------
вот еще парочка, буквально вчера ее тут вспоминали:
1. На плоскости дана прямая и отрезок, параллельный ей (естественно - вне ее) . Одной линейкой найти его середину.
2. На плоскости даны 2 параллельный и точка А, не лежащая на них. Одной линейкой построить 3-ю прямую, параллельную первым и проходящую через А.

(естественно, все что может линейка - проводить прямые через выбранные или произвольные точки. Отмерять отрезки, проводить касательные - нельзя)

Успехов. Если запомните мой майл, после отпусков можем поделиться решениями.